Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: y = C1 cos(2x) + C2 sen(2x)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre soluções de equações diferenciais lineares.
  • Entender como as funções trigonométricas aparecem nas soluções.
  • Saber montar a equação diferencial a partir das soluções dadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a solução geral dada é . Isso indica que a equação diferencial tem soluções trigonométricas, o que geralmente ocorre em equações de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Vamos lembrar que para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral tem a forma:
onde é uma raiz da equação característica associada à equação diferencial.
No nosso caso, temos soluções envolvendo funções trigonométricas, o que acontece quando as raízes da equação característica são números complexos.

Passo 4

As soluções e sugerem que as raízes da equação característica são .
Então, a equação característica é:

Passo 5

Agora, voltamos para a equação diferencial. Se a equação característica é , isso corresponde à seguinte equação diferencial:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a .

Resposta

A equação diferencial de menor ordem possível é:

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