Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre soluções de equações diferenciais lineares.
- Entender como as funções trigonométricas aparecem nas soluções.
- Saber montar a equação diferencial a partir das soluções dadas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a solução geral dada é . Isso indica que a equação diferencial tem soluções trigonométricas, o que geralmente ocorre em equações de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Vamos lembrar que para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral tem a forma:
onde
é uma raiz da equação característica associada à equação diferencial.
No nosso caso, temos soluções envolvendo funções trigonométricas, o que acontece quando as raízes da equação característica são números complexos.
Passo 4
As soluções
e sugerem que as raízes da equação característica são
.
Então, a equação característica é:
Passo 5
Agora, voltamos para a equação diferencial. Se a equação característica é
, isso corresponde à seguinte equação diferencial:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
.
Resposta
A equação diferencial de menor ordem possível é: