Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: y = C e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha soluções da forma . Vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais e Soluções Gerais para resolver isso. Precisaremos entender como relacionar a função dada com suas derivadas para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que é uma solução. Aqui, é uma constante arbitrária que aparece na solução geral de uma equação diferencial. Para encontrar a equação diferencial, precisamos eliminar essa constante.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de em relação a . Se , então:

Passo 4

Observamos que a derivada é igual a mesmo:

Passo 5

Agora, reorganizamos essa igualdade para colocar tudo em um lado da equação:

Resposta

A equação diferencial de menor ordem possível é:

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