Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha soluções da forma
. Vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais e Soluções Gerais para resolver isso. Precisaremos entender como relacionar a função dada com suas derivadas para montar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é uma solução. Aqui,
é uma constante arbitrária que aparece na solução geral de uma equação diferencial. Para encontrar a equação diferencial, precisamos eliminar essa constante.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. Se
, então:
Passo 4
Observamos que a derivada
é igual a
mesmo:
Passo 5
Agora, reorganizamos essa igualdade para colocar tudo em um lado da equação:
Resposta
A equação diferencial de menor ordem possível é: