Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: y = (C1 + C2 x) e^x + C3

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para determinarmos uma equação diferencial de menor ordem possível que não contenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções a expressão .
Conteúdo envolvido:
  • Equações diferenciais lineares.
  • Soluções gerais de equações diferenciais.
  • Métodos para encontrar a equação diferencial a partir da solução.
O que vamos precisar:
  • Conhecer como derivar funções.
  • Entender a relação entre soluções e a equação diferencial que as gera.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da solução geral:
Aqui, temos três constantes arbitrárias: , e . Cada constante está associada a uma solução particular da equação diferencial.

Passo 3

Vamos entender cada termo:
  1. : Este termo sugere que a equação diferencial tem soluções envolvendo exponenciais multiplicadas por polinômios. Isso geralmente aparece em equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
  2. : Este é um termo constante, indicando que a equação diferencial pode ter termos que anulam outras partes, deixando uma solução constante.

Passo 4

Para encontrar a equação diferencial, vamos derivar até obter uma relação que não envolva os . Vamos começar calculando a primeira e a segunda derivadas de .
Primeira derivada ( ):
Segunda derivada ( ):

Passo 5

Agora, buscamos uma combinação linear das derivadas que elimine as constantes , e . Observando as derivadas:
Vamos verificar:
Simplificando:
Todas as constantes se cancelam, confirmando que essa é a equação diferencial correta.

Resposta

A equação diferencial de menor ordem possível é:

Exercícios relacionados