Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para determinarmos uma equação diferencial de menor ordem possível que não contenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções a expressão
.
Conteúdo envolvido:
- Equações diferenciais lineares.
- Soluções gerais de equações diferenciais.
- Métodos para encontrar a equação diferencial a partir da solução.
O que vamos precisar:
- Conhecer como derivar funções.
- Entender a relação entre soluções e a equação diferencial que as gera.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da solução geral:
Aqui, temos três constantes arbitrárias:
,
e
. Cada constante está associada a uma solução particular da equação diferencial.
Passo 3
Vamos entender cada termo:
-
: Este termo sugere que a equação diferencial tem soluções envolvendo exponenciais multiplicadas por polinômios. Isso geralmente aparece em equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. -
: Este é um termo constante, indicando que a equação diferencial pode ter termos que anulam outras partes, deixando uma solução constante.
Passo 4
Para encontrar a equação diferencial, vamos derivar
até obter uma relação que não envolva os
. Vamos começar calculando a primeira e a segunda derivadas de
.
Primeira derivada (
):
Segunda derivada (
):
Passo 5
Agora, buscamos uma combinação linear das derivadas que elimine as constantes
,
e
. Observando as derivadas:
Vamos verificar:
Simplificando:
Todas as constantes se cancelam, confirmando que essa é a equação diferencial correta.
Resposta
A equação diferencial de menor ordem possível é: