Determine a equação da elipse com focos e eixo maior dados.
© Focos
e
, eixo maior
.
© Focos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem dois focos da elipse,
e
, e o comprimento do eixo maior que é
. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa elipse. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como o centro da elipse, a distância entre os focos (
) e a relação entre
,
e
na equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar esse ponto médio, usamos a fórmula:
Substituindo os valores dos focos:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os focos, que é
. Primeiro, encontramos a distância entre
e
usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Então,
e, portanto,
.
Passo 4
Sabemos que o comprimento do eixo maior é
, então
.
Na elipse, a relação entre
,
e
é dada por:
Vamos encontrar
:
Então,
.
Passo 5
Agora, precisamos identificar a orientação da elipse. Como os focos não estão alinhados apenas no eixo
ou apenas no eixo
, a elipse está inclinada. Isso significa que teremos que considerar uma rotação na equação padrão da elipse.
Para facilitar, vamos calcular o ângulo de inclinação
usando a inclinação da linha que liga os dois focos. A inclinação é dada por:
Então,
Passo 6
A equação geral de uma elipse inclinada é um pouco mais complexa, mas podemos expressá-la usando a fórmula rotacionada:
Onde
é o centro,
e
são os semi-eixos, e
é o ângulo de inclinação que calculamos.
Passo 7
Substituindo todos os valores que encontramos:
Nossa equação fica:
Resposta
A equação da elipse com os focos
,
e eixo maior
é: