Determine a equação da elipse com focos e eixo maior dados.
© Focos F1=(-3,0) e F2=(0,4), eixo maior 2 a=8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem dois focos da elipse, e , e o comprimento do eixo maior que é . Nosso objetivo é encontrar a equação dessa elipse. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como o centro da elipse, a distância entre os focos ( ) e a relação entre , e na equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar esse ponto médio, usamos a fórmula:
Centro (h,k) = ( x1 + x22, y1 + y22 )
Substituindo os valores dos focos:
(h,k) = ( -3 + 02, 0 + 42 ) = ( -32, 2 )
Então, o centro da elipse é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os focos, que é d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 . Primeiro, encontramos a distância entre d = raiz(0 - (-3))^2 + (4 - 0)^2 = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 e usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Então, e, portanto, .

Passo 4

Sabemos que o comprimento do eixo maior é c^2 = a^2 - b^2 , então b^2 = a^2 - c^2 = 4^2 - (2,5)^2 = 16 - 6,25 = 9,75 .
Na elipse, a relação entre , e é dada por:
Vamos encontrar :
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos identificar a orientação da elipse. Como os focos não estão alinhados apenas no eixo tan(theta) = y2 - y1x2 - x1 = 4 - 00 - (-3) = 43 ou apenas no eixo theta = arctan( 43 ) , a elipse está inclinada. Isso significa que teremos que considerar uma rotação na equação padrão da elipse.
Para facilitar, vamos calcular o ângulo de inclinação usando a inclinação da linha que liga os dois focos. A inclinação é dada por:
Então,

Passo 6

A equação geral de uma elipse inclinada é um pouco mais complexa, mas podemos expressá-la usando a fórmula rotacionada:
(X cos theta + Y sin theta - h)^2a^2 + (-X sin theta + Y cos theta - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro, e são os semi-eixos, e é o ângulo de inclinação que calculamos.

Passo 7

Substituindo todos os valores que encontramos:
  • (X cos(arctan(43)) + Y sin(arctan(43)) + 32)^216 + (-X sin(arctan(43)) + Y cos(arctan(43)) - 2)^29,75 = 1
Nossa equação fica:

Resposta

A equação da elipse com os focos (X cos(arctan(43)) + Y sin(arctan(43)) + 32)^216 + (-X sin(arctan(43)) + Y cos(arctan(43)) - 2)^29,75 = 1 , e eixo maior é:

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