Para as elipses dadas abaixo, determine os focos e faça um esboço do seu gráfico.
(f) raiz2 x^2+1raiz3=raiz6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação de uma elipse e precisamos encontrar os focos dela e desenhar um esboço do gráfico. Para resolver isso, vamos usar a matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre elipses. Vamos precisar entender a forma padrão da equação da elipse e como identificar seus parâmetros importantes, como os centros, os semi-eixos e os focos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada para colocá-la na forma padrão da elipse. A equação que temos é:
raiz2 , x^2 + 1raiz3 = raiz6
Vamos isolar o termo com raiz2 , x^2 = raiz6 - 1raiz3 :
raiz6 - 1raiz3 = raiz6 cdot raiz3raiz3 - 1raiz3 = raiz18 - 1raiz3 = 3raiz2 - 1raiz3
Agora, vamos simplificar o lado direito. Para isso, encontramos um denominador comum:
raiz2raiz6 , x^2 + 1raiz3raiz6 = 1
Mas isso parece complicado. Em vez disso, vamos dividir todos os termos por 1raiz3 , x^2 + 1raiz18 = 1 para simplificar a equação:
1raiz3 , x^2 + 13raiz2 = 1
Simplificando as frações:
1raiz3 , x^2 = 1 - 13raiz2 = 3raiz23raiz2 - 13raiz2 = 3raiz2 - 13raiz2
Como x^2 = 3raiz2 - 13raiz2 cdot raiz3 = (3raiz2 - 1)raiz33raiz2 = 3raiz6 - raiz33raiz2 = raiz6 - raiz33raiz2 , temos:
Agora, isolamos o :
Multiplicando ambos os lados por :
Essa simplificação está ficando complicada, então vamos tentar outra abordagem para colocar a equação na forma padrão da elipse.

Passo 3

Vamos reconsiderar a equação inicial:
raiz2 , x^2 + 1raiz3 = raiz6
Primeiro, subtraímos raiz2 , x^2 = raiz6 - 1raiz3 de ambos os lados:
x^2 = raiz6raiz2 - 1raiz3raiz2 = raiz31 - 1raiz6 = raiz3 - raiz66
Agora, dividimos ambos os lados por :
Para simplificar, podemos aproximar os valores ou tentar manipular algebraicamente, mas parece que estamos complicando demais. Na verdade, a equação dada provavelmente representa uma elipse com eixo imaginário ou não está na forma padrão, o que sugere que pode haver um erro no enunciado.

Passo 4

Vamos reconsiderar o problema: talvez a equação deva incluir termos de raiz2 , x^2 + 1raiz3 , y^2 = raiz6 para representar uma elipse completa. Se considerarmos que a equação deveria ser:
raiz2raiz6 , x^2 + 1raiz3raiz6 , y^2 = 1
Então, podemos proceder para colocá-la na forma padrão.
Dividindo toda a equação por 1raiz3 , x^2 + 1raiz18 , y^2 = 1 :
x^2raiz3 + y^23raiz2 = 1
Simplificando as frações:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Como , temos:
Agora, a equação está na forma padrão da elipse:
onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 5

Identificando os parâmetros:
  • Centro : Como não há termos de ou sozinhos, o centro está na origem .
  • então
  • então
Como , o eixo maior está no eixo .

Passo 6

Para encontrar os focos da elipse, usamos a fórmula:
c = raizb^2 - a^2
Substituindo os valores:
c = raiz3raiz2 - raiz3 = raizraiz3(3raiz2/raiz3 - 1) = raiz3raiz2 - raiz3
Simplificando:
c = raiz3(raiz2 - 1raiz3) = raiz3raiz2 - 1
Portanto, os focos estão localizados em e .

Resposta

Os focos da elipse são e . O esboço do gráfico apresenta uma elipse centralizada na origem, com o eixo maior alinhado ao eixo e o eixo menor ao eixo .

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