Para as elipses dadas abaixo, determine os focos e faça um esboço do seu gráfico.
(d)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação de uma elipse: . Precisamos encontrar os focos dessa elipse e desenhar um esboço do seu gráfico. Para isso, vamos usar conceitos básicos de elipses, como a forma padrão e a relação entre os seus parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão, que é . Para isso, dividimos toda a equação por 20:
Simplificando as frações:
Então, a forma padrão fica:
Passo 3
Agora, identificamos os valores de e :
Como , a elipse é vertical, ou seja, seu eixo maior está ao longo do eixo y.
Passo 4
Para encontrar os focos, precisamos calcular usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 5
Como a elipse é vertical, os focos estão posicionados ao longo do eixo y, a uma distância F1 = (0, 3raiz510) e F2 = (0, -3raiz510) acima e abaixo do centro, que neste caso é a origem (0,0). Portanto, os focos são:
Resposta
Os focos da elipse são e . O esboço do gráfico é uma elipse vertical centrada na origem, com seu eixo principal ao longo do eixo y.