Para as elipses dadas abaixo, determine os focos e faça um esboço do seu gráfico.
(d) 25 x^2+16 y^2=20

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação de uma elipse: . Precisamos encontrar os focos dessa elipse e desenhar um esboço do seu gráfico. Para isso, vamos usar conceitos básicos de elipses, como a forma padrão e a relação entre os seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão, que é 25x^220 + 16y^220 = 1 . Para isso, dividimos toda a equação por 20:
5x^24 + 4y^25 = 1
Simplificando as frações:
x^245 + y^254 = 1
Então, a forma padrão fica:

Passo 3

Agora, identificamos os valores de a^2 = 45 e b^2 = 54 e :
Como , a elipse é vertical, ou seja, seu eixo maior está ao longo do eixo y.

Passo 4

Para encontrar os focos, precisamos calcular c^2 = |a^2 - b^2| usando a fórmula:
c^2 = | 45 - 54 | = | 16 - 2520 | = 920
Substituindo os valores:
c = raiz920 = 3raiz20 = 3raiz510
Então,

Passo 5

Como a elipse é vertical, os focos estão posicionados ao longo do eixo y, a uma distância F1 = (0, 3raiz510) e F2 = (0, -3raiz510) acima e abaixo do centro, que neste caso é a origem (0,0). Portanto, os focos são:

Resposta

Os focos da elipse são e . O esboço do gráfico é uma elipse vertical centrada na origem, com seu eixo principal ao longo do eixo y.

Exercícios relacionados