Para as elipses dadas abaixo, determine os focos e faça um esboço do seu gráfico.
(a)
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma elipse:
. Nosso objetivo é encontrar os focos dessa elipse e desenhar um esboço do seu gráfico. Para isso, vamos precisar lembrar como identificar os elementos principais de uma elipse a partir da sua equação padrão.
Passo 2
A equação padrão de uma elipse é
, onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Primeiro, precisamos reescrever a equação dada nessa forma padrão.
Passo 3
Vamos dividir ambos os lados da equação
por 54 para que o lado direito seja 1:
Simplificando as frações:
Passo 4
Agora, identificamos
e
. Comparando com a equação padrão:
Então,
e
.
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a relação
, onde
é a distância do centro aos focos. Calculando:
Passo 6
Como a elipse está na forma
e
, os focos estão ao longo do eixo
. Portanto, os focos são
, ou seja:
Resposta
Os focos da elipse
são
e
. O esboço do gráfico mostra uma elipse centrada na origem, alongada no eixo
com semi-eixo maior
e semi-eixo menor
.