Para as elipses dadas abaixo, determine os focos e faça um esboço do seu gráfico.
(a) 2 x^2+3 y^2=54

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma elipse: . Nosso objetivo é encontrar os focos dessa elipse e desenhar um esboço do seu gráfico. Para isso, vamos precisar lembrar como identificar os elementos principais de uma elipse a partir da sua equação padrão.

Passo 2

A equação padrão de uma elipse é , onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Primeiro, precisamos reescrever a equação dada nessa forma padrão.

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados da equação 2x^254 + 3y^254 = 1 por 54 para que o lado direito seja 1:
x^227 + y^218 = 1
Simplificando as frações:

Passo 4

Agora, identificamos a^2 = 27 e b^2 = 18 e . Comparando com a equação padrão:
Então, e .

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a relação c^2 = 27 - 18 = 9 Rightarrow c = raiz9 = 3 , onde é a distância do centro aos focos. Calculando:

Passo 6

Como a elipse está na forma (3, 0) e (-3, 0) e , os focos estão ao longo do eixo . Portanto, os focos são , ou seja:

Resposta

Os focos da elipse são e . O esboço do gráfico mostra uma elipse centrada na origem, alongada no eixo com semi-eixo maior e semi-eixo menor .

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