Determine a equação da elipse de focos e e eixo maior medindo 12.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre elipses! Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos em e , e cujo eixo maior mede 12 unidades. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica sobre elipses, como a distância entre os focos e o comprimento do eixo maior.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a posição dos focos. Os focos estão em e , então eles estão alinhados ao longo do eixo y. Isso significa que o eixo maior da elipse também estará nessa direção vertical.

Passo 3

O comprimento do eixo maior é 12 unidades. Sabemos que o eixo maior de uma elipse é representado por , onde é o semi-eixo maior. Então, podemos calcular:

Passo 4

Agora, vamos determinar a distância entre os focos, que é . Observando as coordenadas dos focos, a distância entre eles é:

Passo 5

Para encontrar o semi-eixo menor , usamos a relação fundamental das elipses:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 6

Com e , e sabendo que o eixo maior está na direção vertical, a equação padrão da elipse é:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da elipse é:

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