Determine a equação da elipse de focos (0,4) e (0,-4) e eixo maior medindo 12.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre elipses! Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos em (0,4) e (0,-4), e cujo eixo maior mede 12 unidades. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica sobre elipses, como a distância entre os focos e o comprimento do eixo maior.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a posição dos focos. Os focos estão em (0,4) e (0,-4), então eles estão alinhados ao longo do eixo y. Isso significa que o eixo maior da elipse também estará nessa direção vertical.

Passo 3

O comprimento do eixo maior é 12 unidades. Sabemos que o eixo maior de uma elipse é representado por 2a, onde a é o semi-eixo maior. Então, podemos calcular:
2a = 12 implies a = 6

Passo 4

Agora, vamos determinar a distância entre os focos, que é 2c. Observando as coordenadas dos focos, a distância entre eles é:
2c = 4 - (-4) = 8 implies c = 4

Passo 5

Para encontrar o semi-eixo menor b, usamos a relação fundamental das elipses:
b^2 = a^2 - c^2
Substituindo os valores encontrados:
b^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20 implies b = raiz20

Passo 6

Com a = 6 e b = raiz20, e sabendo que o eixo maior está na direção vertical, a equação padrão da elipse é:
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
Substituindo os valores:
x^220 + y^236 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
x^220 + y^236 = 1

Exercícios relacionados