Determine a equação da elipse de focos
e
e eixo maior medindo 12.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre elipses! Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos em
e
, e cujo eixo maior mede 12 unidades. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica sobre elipses, como a distância entre os focos e o comprimento do eixo maior.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a posição dos focos. Os focos estão em
e
, então eles estão alinhados ao longo do eixo y. Isso significa que o eixo maior da elipse também estará nessa direção vertical.
Passo 3
O comprimento do eixo maior é 12 unidades. Sabemos que o eixo maior de uma elipse é representado por
, onde
é o semi-eixo maior. Então, podemos calcular:
Passo 4
Agora, vamos determinar a distância entre os focos, que é
. Observando as coordenadas dos focos, a distância entre eles é:
Passo 5
Para encontrar o semi-eixo menor
, usamos a relação fundamental das elipses:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
Com
e
, e sabendo que o eixo maior está na direção vertical, a equação padrão da elipse é:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da elipse é: