Mostre que o conjunto
forma uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de polinômios
e precisamos mostrar que esse conjunto forma uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a
. Isso envolve entender dois conceitos principais da álgebra linear: base e espaço vetorial. Para resolver isso, vamos verificar se os polinômios são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço dos polinômios de grau até
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Então, para provar que nosso conjunto
é uma base, precisamos mostrar duas coisas: que não dá para escrever nenhum desses polinômios como uma combinação linear dos outros (independência linear) e que qualquer polinômio de grau até
pode ser escrito como uma combinação desses polinômios (geração do espaço).
Passo 3
Vamos começar com a independência linear. Isso significa que a única maneira de combinar esses polinômios para dar zero é se todos os coeficientes da combinação forem zero. Ou seja, se tivermos
para todo
, então todos os
devem ser zero.
Para provar isso, usamos o teorema da identidade polinomial, que diz que se dois polinômios são iguais para todos os valores de
, então seus coeficientes correspondentes devem ser iguais. Aplicando isso à nossa combinação, concluímos que todos os
precisam ser zero, garantindo que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, vamos ver se os polinômios geram todo o espaço dos polinômios de grau até
. Isso significa que qualquer polinômio
de grau
pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios do nosso conjunto.
Um polinômio geral de grau
tem a forma
. Claramente, ele é uma combinação linear dos polinômios
com os coeficientes
. Portanto, nosso conjunto de polinômios realmente gera todo o espaço.
Resposta
Concluímos que o conjunto
é uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a
, já que os polinômios são linearmente independentes e geram todo o espaço.
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