Mostre que o conjunto 1, x, x^2, x^3, cdots, x^n forma uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de polinômios 1, x, x^2, x^3, cdots, x^n e precisamos mostrar que esse conjunto forma uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n. Isso envolve entender dois conceitos principais da álgebra linear: base e espaço vetorial. Para resolver isso, vamos verificar se os polinômios são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço dos polinômios de grau até n.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Então, para provar que nosso conjunto 1, x, x^2, cdots, x^n é uma base, precisamos mostrar duas coisas: que não dá para escrever nenhum desses polinômios como uma combinação linear dos outros (independência linear) e que qualquer polinômio de grau até n pode ser escrito como uma combinação desses polinômios (geração do espaço).

Passo 3

Vamos começar com a independência linear. Isso significa que a única maneira de combinar esses polinômios para dar zero é se todos os coeficientes da combinação forem zero. Ou seja, se tivermos a0 cdot 1 + a1 cdot x + a2 cdot x^2 + cdots + an cdot x^n = 0 para todo x, então todos os ai devem ser zero.
Para provar isso, usamos o teorema da identidade polinomial, que diz que se dois polinômios são iguais para todos os valores de x, então seus coeficientes correspondentes devem ser iguais. Aplicando isso à nossa combinação, concluímos que todos os ai precisam ser zero, garantindo que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, vamos ver se os polinômios geram todo o espaço dos polinômios de grau até n. Isso significa que qualquer polinômio P(x) de grau <= n pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios do nosso conjunto.
Um polinômio geral de grau <= n tem a forma P(x) = b0 + b1 x + b2 x^2 + cdots + bn x^n. Claramente, ele é uma combinação linear dos polinômios 1, x, x^2, cdots, x^n com os coeficientes b0, b1, cdots, bn. Portanto, nosso conjunto de polinômios realmente gera todo o espaço.

Resposta

Concluímos que o conjunto 1, x, x^2, cdots, x^n é uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n, já que os polinômios são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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