Como obter a equação cartesiana de um plano dados três pontos distintos pertencentes a ele?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente achar a equação cartesiana de um plano sabendo três pontos diferentes que estão nesse plano. Aqui, a gente vai usar conceitos de geometria analítica, como vetores e produto vetorial, para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a equação cartesiana de um plano. Ela tem a forma geral:
onde , , e são os coeficientes que definem a orientação do plano, e ajusta a posição do plano no espaço.
Passo 3
Para achar esses coeficientes, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ele. Dado três pontos no plano, podemos formar dois vetores no plano e, usando o produto vetorial, achar o vetor normal.
Passo 4
Vamos chamar os três pontos de , e . A gente cria dois vetores no plano:
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial desses dois vetores para achar o vetor normal :
Isso nos dá:
Passo 6
Com o vetor normal encontrado, usamos um dos pontos, por exemplo , para montar a equação do plano. A fórmula é:
Expandindo isso, chegamos na forma geral:
onde .
Resposta
Então, a equação cartesiana do plano passando pelos três pontos , e é:
com os coeficientes , , determinados pelo produto vetorial dos vetores formados pelos pontos, e calculado usando um dos pontos no plano.