Como obter a equação cartesiana de um plano dados três pontos distintos pertencentes a ele?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente achar a equação cartesiana de um plano sabendo três pontos diferentes que estão nesse plano. Aqui, a gente vai usar conceitos de geometria analítica, como vetores e produto vetorial, para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a equação cartesiana de um plano. Ela tem a forma geral:
Ax + By + Cz + D = 0
onde , , e são os coeficientes que definem a orientação do plano, e ajusta a posição do plano no espaço.

Passo 3

Para achar esses coeficientes, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ele. Dado três pontos no plano, podemos formar dois vetores no plano e, usando o produto vetorial, achar o vetor normal.

Passo 4

Vamos chamar os três pontos de v = P2 - P1 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) , w = P3 - P1 = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) e . A gente cria dois vetores no plano:

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial desses dois vetores para achar o vetor normal n = v times w = | ccc i & j & k vx & vy & vz wx & wy & wz | :
A = vy wz - vz wy
Isso nos dá:
B = vz wx - vx wz
C = vx wy - vy wx

Passo 6

Com o vetor normal A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0 encontrado, usamos um dos pontos, por exemplo Ax + By + Cz + D = 0 , para montar a equação do plano. A fórmula é:
Expandindo isso, chegamos na forma geral:
onde .

Resposta

Então, a equação cartesiana do plano passando pelos três pontos Ax + By + Cz + D = 0 , e é:
com os coeficientes , , determinados pelo produto vetorial dos vetores formados pelos pontos, e calculado usando um dos pontos no plano.

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