Um novo centro comercial registou 120 clientes no seu primeiro dia. Depois, o número de clientes de cada dia foi sempre 10% maior que o do dia anterior. Qual é o número total de clientes nos primeiros 7 dias? Arredonde o resultado para o número inteiro mais próximo.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Um centro comercial registrou 120 clientes no primeiro dia, e a cada dia seguinte o número de clientes aumentou 10% em relação ao dia anterior. Queremos descobrir quantos clientes, no total, visitaram o centro comercial nos primeiros 7 dias. Para resolver isso, vamos usar o conceito de progressão geométrica, que é uma sequência onde cada termo após o primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Primeiro dia (a₁): 120 clientes
- Aumento diário (razão, r): 10% a mais que o dia anterior, ou seja, r = 1 + 0,10 = 1,10
- Número de dias (n): 7
Passo 3
Como o número de clientes cresce 10% a cada dia, estamos lidando com uma progressão geométrica onde cada termo é 1,10 vezes o termo anterior. A fórmula para encontrar o número de clientes no dia k é:
Onde:
- $ a_k $ é o número de clientes no dia k.
- $ a_1 $ é o número de clientes no primeiro dia.
- $ r $ é a razão da progressão.
- $ k $ é o dia que estamos analisando.
Passo 4
Para encontrar o total de clientes nos 7 dias, precisamos somar todos os termos dessa progressão. A fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é:
Onde:
- $ S_n $ é a soma dos n primeiros termos.
- $ a_1 $ é o primeiro termo.
- $ r $ é a razão.
- $ n $ é o número de termos.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula com os valores que temos:
- $ a_1 = 120 $
- $ r = 1,10 $
- $ n = 7 $
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Calculando passo a passo:
- Calculando
:
- Subtraindo 1:
- Dividindo por
:
- Multiplicando por 120:
Resposta
O número total de clientes nos primeiros 7 dias é aproximadamente 1.138.