Determine a equação da esfera
que tem raio 3 e é tangente ao plano
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que tem raio 3 e que toca (ou seja, é tangente) ao plano
exatamente no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, como equações de planos e esferas, e a condição de tangência entre eles. Vamos precisar lembrar como calcular a distância entre um ponto e um plano e usar a equação geral da esfera.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é uma esfera: a equação geral de uma esfera com centro
e raio
é
. Nosso objetivo é encontrar
,
e
.
Passo 3
Como a esfera é tangente ao plano
no ponto
, isso significa que o ponto
está na esfera e que a distância entre o centro da esfera e o plano
é exatamente igual ao raio da esfera, que é 3.
Passo 4
Vamos usar a fórmula da distância de um ponto
a um plano
:
No nosso caso, o plano é
, então
,
,
, e
.
Passo 5
Como a distância
entre o centro da esfera e o plano
é igual ao raio 3, temos:
Simplificando o denominador:
Então a equação fica:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 6
Como o ponto
está na esfera e na esfera é uma superfície onde todos os pontos estão a uma distância
do centro, podemos dizer que o vetor que liga
ao centro da esfera é paralelo ao vetor normal do plano
, que é
.
Passo 7
Então, o centro da esfera
pode ser expresso como:
Isso dá:
Passo 8
Agora, vamos substituir
,
e
na equação
para encontrar o valor de
.
Substituindo:
Simplificando:
Então:
Passo 9
Vamos encontrar os dois possíveis centros da esfera usando os valores de
:
Para
:
Portanto, o centro é
.
Para
:
Portanto, o centro é
.
Passo 10
Agora, com os centros encontrados, podemos escrever as duas possíveis equações da esfera:
- Com centro
:
- Com centro
:
Resposta
As equações das esferas são:
e