Determine a equação da esfera S que tem raio 3 e é tangente ao plano Pi: x+2 y+2 z=-3 no ponto P=(1,1,-3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que tem raio 3 e que toca (ou seja, é tangente) ao plano Pi: x + 2y + 2z = -3 exatamente no ponto P = (1, 1, -3). Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, como equações de planos e esferas, e a condição de tangência entre eles. Vamos precisar lembrar como calcular a distância entre um ponto e um plano e usar a equação geral da esfera.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é uma esfera: a equação geral de uma esfera com centro (a, b, c) e raio r é (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2. Nosso objetivo é encontrar a, b e c.

Passo 3

Como a esfera é tangente ao plano Pi no ponto P = (1, 1, -3), isso significa que o ponto P está na esfera e que a distância entre o centro da esfera e o plano Pi é exatamente igual ao raio da esfera, que é 3.

Passo 4

Vamos usar a fórmula da distância de um ponto (a, b, c) a um plano Ax + By + Cz + D = 0:
d = |Aa + Bb + Cc + D|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, o plano é x + 2y + 2z + 3 = 0, então A = 1, B = 2, C = 2, e D = 3.

Passo 5

Como a distância d entre o centro da esfera e o plano Pi é igual ao raio 3, temos:
|1 cdot a + 2 cdot b + 2 cdot c + 3|raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = 3
Simplificando o denominador:
raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Então a equação fica:
|a + 2b + 2c + 3| = 9
Isso nos dá duas possibilidades:
a + 2b + 2c + 3 = 9 ou a + 2b + 2c + 3 = -9

Passo 6

Como o ponto P = (1, 1, -3) está na esfera e na esfera é uma superfície onde todos os pontos estão a uma distância r do centro, podemos dizer que o vetor que liga P ao centro da esfera é paralelo ao vetor normal do plano Pi, que é (1, 2, 2).

Passo 7

Então, o centro da esfera (a, b, c) pode ser expresso como:
(a, b, c) = (1, 1, -3) + t cdot (1, 2, 2)
Isso dá:
a = 1 + t b = 1 + 2t c = -3 + 2t

Passo 8

Agora, vamos substituir a, b e c na equação a + 2b + 2c + 3 = pm 9 para encontrar o valor de t.
Substituindo:
(1 + t) + 2(1 + 2t) + 2(-3 + 2t) + 3 = pm 9
Simplificando:
1 + t + 2 + 4t - 6 + 4t + 3 = pm 9 (1 + 2 - 6 + 3) + (t + 4t + 4t) = pm 9 0 + 9t = pm 9
Então:
9t = 9 Rightarrow t = 1 ou 9t = -9 Rightarrow t = -1

Passo 9

Vamos encontrar os dois possíveis centros da esfera usando os valores de t:
Para t = 1:
a = 1 + 1 = 2 b = 1 + 2(1) = 3 c = -3 + 2(1) = -1
Portanto, o centro é (2, 3, -1).
Para t = -1:
a = 1 - 1 = 0 b = 1 + 2(-1) = -1 c = -3 + 2(-1) = -5
Portanto, o centro é (0, -1, -5).

Passo 10

Agora, com os centros encontrados, podemos escrever as duas possíveis equações da esfera:
  1. Com centro (2, 3, -1):
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 3^2 (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 9
  1. Com centro (0, -1, -5):
(x - 0)^2 + (y + 1)^2 + (z + 5)^2 = 3^2 x^2 + (y + 1)^2 + (z + 5)^2 = 9

Resposta

As equações das esferas são:
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 9
e
x^2 + (y + 1)^2 + (z + 5)^2 = 9

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