Mostre que a reta
é tangente à esfera
e encontre o ponto de tangencia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a reta $ r = {(4t + 4,, 3t + 1,, t + 1) ;, t \in \mathbb{R}} $ é tangente à esfera $ S: (x-1)^{2} + (y+3)^{2} + (z+1)^{2} = 3 $ e encontrar o ponto de tangência. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre distâncias e condições de tangência entre reta e esfera. Para resolver isso, vamos precisar calcular a distância entre a reta e o centro da esfera e verificar se essa distância é igual ao raio da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da esfera $ S $. A equação da esfera está na forma padrão $ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 $.
Comparando com $ (x-1)^{2} + (y+3)^{2} + (z+1)^{2} = 3 $, vemos que:
- Centro da esfera $ C = (1, -3, -1) $
- Raio $ r = \sqrt{3} $
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre a reta $ r $ e o centro da esfera $ C $. A reta está parametrizada por $ r(t) = (4t + 4,, 3t + 1,, t + 1) $.
A fórmula para a distância $ D $ entre um ponto $ C(x_c, y_c, z_c) $ e uma reta parametrizada por $ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{v} $ é:
Onde:
- $ \vec{v} $ é o vetor diretor da reta.
- $ \vec{C} - \vec{r}_0 $ é o vetor que vai do ponto $ \vec{r}_0 $ na reta até o ponto $ C $.
Passo 4
Vamos identificar $ \vec{r}_0 $ e $ \vec{v} $ para a reta $ r $:
- $ \vec{r}_0 = (4, 1, 1) $ (quando $ t = 0 $)
- $ \vec{v} = (4, 3, 1) $ (coeficientes de $ t $ na parametrização)
O ponto $ C $ é $ (1, -3, -1) $, então $ \vec{C} - \vec{r}_0 = (1 - 4,, -3 - 1,, -1 - 1) = (-3, -4, -2) $
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{v} \times (\vec{C} - \vec{r}_0) $:
Calculando o determinante:
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial e o módulo do vetor diretor $ \vec{v} $:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da distância:
Então, a distância entre a reta e o centro da esfera é $ \sqrt{3} $, que é igual ao raio da esfera.
Passo 8
Como a distância entre a reta e o centro da esfera é igual ao raio da esfera, isso confirma que a reta é tangente à esfera.
Agora, para encontrar o ponto de tangência, vamos encontrar o valor de $ t $ que minimiza a distância entre $ r(t) $ e $ C $.
Passo 9
A distância ao quadrado entre $ r(t) $ e $ C $ é:
Para minimizar, derivamos em relação a $ t $ e igualamos a zero:
Passo 10
Agora, substituímos $ t = -1 $ na parametrização da reta para encontrar o ponto de tangência:
Resposta
A reta $ r $ é tangente à esfera $ S $ e o ponto de tangência é $ (0,\ -2,\ 0) $.