Encontre o ponto simétrico P^prime do ponto P=(1,3,-4) em relação ao plano 3 x+y-2 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o ponto simétrico $ P^{\prime} $ do ponto $ P = (1, 3, -4) $ em relação ao plano definido pela equação $ 3x + y - 2z = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre simetria em relação a um plano. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como encontrar o ponto simétrico em relação a um plano. A ideia é que o ponto simétrico $ P^{\prime} $ está do outro lado do plano, com a mesma distância que o ponto original $ P $ está do plano. Para calcular isso, usamos a fórmula:
P^prime
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são os coeficientes da equação do plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $, e $ (x_0, y_0, z_0) $ são as coordenadas do ponto $ P $.

Passo 3

Vamos identificar os valores na nossa equação do plano. A equação que temos é $ 3x + y - 2z = 0 $. Comparando com $ Ax + By + Cz + D = 0 $, vemos que:
  • $ A = 3 $
  • $ B = 1 $
  • $ C = -2 $
  • $ D = 0 $ (porque não há termo constante)
E o ponto $ P $ tem coordenadas $ (x_0, y_0, z_0) = (1, 3, -4) $.

Passo 4

Agora, vamos calcular o numerador da fração na fórmula:
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 3(1) + 1(3) + (-2)(-4) + 0 = 3 + 3 + 8 + 0 = 14
E o denominador:
A^2 + B^2 + C^2 = 3^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14
Legal, agora substituímos esses valores na fórmula.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
P^prime = (1, 3, -4) - 2 cdot 1414 cdot (3, 1, -2)
Simplificando a fração $ \frac{14}{14} = 1 $, então:
1414 = 1

Passo 6

Agora, vamos fazer a subtração componente por componente:
P^prime = (1 - 6, 3 - 2, -4 - (-4)) = (-5, 1, 0)

Resposta

O ponto simétrico $ P^{\prime} $ é $ (-5,,1,;0) $.

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