Encontre o ponto simétrico
do ponto
em relação ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o ponto simétrico $ P^{\prime} $ do ponto $ P = (1, 3, -4) $ em relação ao plano definido pela equação $ 3x + y - 2z = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre simetria em relação a um plano. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como encontrar o ponto simétrico em relação a um plano. A ideia é que o ponto simétrico $ P^{\prime} $ está do outro lado do plano, com a mesma distância que o ponto original $ P $ está do plano. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são os coeficientes da equação do plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $, e $ (x_0, y_0, z_0) $ são as coordenadas do ponto $ P $.
Passo 3
Vamos identificar os valores na nossa equação do plano. A equação que temos é $ 3x + y - 2z = 0 $. Comparando com $ Ax + By + Cz + D = 0 $, vemos que:
- $ A = 3 $
- $ B = 1 $
- $ C = -2 $
- $ D = 0 $ (porque não há termo constante)
E o ponto $ P $ tem coordenadas $ (x_0, y_0, z_0) = (1, 3, -4) $.
Passo 4
Agora, vamos calcular o numerador da fração na fórmula:
E o denominador:
Legal, agora substituímos esses valores na fórmula.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Simplificando a fração $ \frac{14}{14} = 1 $, então:
Passo 6
Agora, vamos fazer a subtração componente por componente:
Resposta
O ponto simétrico $ P^{\prime} $ é $ (-5,,1,;0) $.