Encontre a equação da esfera S que passa pelos pontos A=(-1,2,3), B=(1,4,-1), C= (3,-2,-1) e D=(0,4,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar a equação de uma esfera que passa pelos pontos $ A = (-1, 2, 3) $, $ B = (1, 4, -1) $, $ C = (3, -2, -1) $ e $ D = (0, 4, 1) $. Isso está relacionado à geometria no espaço tridimensional, especificamente sobre esferas. Para resolver, vamos precisar da fórmula geral da equação de uma esfera e resolver um sistema de equações para encontrar os parâmetros dessa esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da equação de uma esfera. A equação de uma esfera com centro no ponto $ (h, k, l) $ e raio $ r $ é dada por:
(h, k, l)
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ h $, $ k $, $ l $ e $ r $ que fazem com que essa equação passe pelos quatro pontos dados.

Passo 3

Como a esfera passa pelos pontos $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $, cada um desses pontos satisfaz a equação da esfera. Vamos substituir as coordenadas de cada ponto na equação para obter um sistema de quatro equações:
Para o ponto $ A = (-1, 2, 3) $:
A çã
Para o ponto $ B = (1, 4, -1) $:
B çã
Para o ponto $ C = (3, -2, -1) $:
C çã
Para o ponto $ D = (0, 4, 1) $:
D çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas ($ h $, $ k $, $ l $, $ r $). Para simplificar, vamos subtrair a Equação 1 das Equações 2, 3 e 4 para eliminar $ r^2 h áêçõêó h $, $ k $, $ l $).
Subtraindo Equação 1 de Equação 2:
k
Fazendo as contas, simplificamos e obtemos uma primeira equação.
Fazendo o mesmo para Equações 3 e 4, teremos mais duas equações.

Passo 5

Depois de simplificar as diferenças, resolvemos o sistema resultante para encontrar os valores de $ h $, $ k $ e $ l $. Isso envolve expandir os termos quadráticos, coletar termos semelhantes e resolver o sistema linear que surge.
Por exemplo, após simplificar, podemos encontrar que:
h
k
l

Passo 6

Agora, resolvemos esse sistema de equações lineares. Vamos usar o método da substituição ou eliminação.
Primeiro, da terceira equação:
-2h + 4l = 6 Rightarrow h = 4l - 62 = 2l - 3
Substituindo $ h = 2l - 3 $ na primeira e na segunda equações:
Primeira equação:
h = 2l - 3
Segunda equação:
2(2l - 3) - 4k + 2l = -4 Rightarrow 4l - 6 - 4k + 2l = -4 Rightarrow 6l - 4k = 2

Passo 7

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
6l - 4k = 2 (Equação A) çã
10l + 4k = 0 (Equação B) çã
Podemos somar Equação A e Equação B para eliminar $ k $:
k
Agora, substituímos $ l = \frac{1}{8} $ na Equação B para encontrar $ k $:
6l - 4k + 10l + 4k = 2 + 0 Rightarrow 16l = 2 Rightarrow l = 216 = 18
Agora, lembramos que $ h = 2l - 3 $:
l = 18

Passo 8

Agora que temos os valores de $ h $, $ k $ e $ l $:
h
Precisamos encontrar o raio $ r $. Para isso, vamos substituir esses valores em uma das equações originais, por exemplo, na Equação 1:
k
Substituindo $ h $, $ k $ e $ l $:
l
Calculando cada termo:
h = -114, k = -516, l = 18
r
Convertendo para denominador comum e somando:
(-1 - h)^2 + (2 - k)^2 + (3 - l)^2 = r^2
h
k

Resposta

A equação da esfera $ S $ que passa pelos pontos $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ é:
S

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