Encontre a equação da esfera
que passa pelos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar a equação de uma esfera que passa pelos pontos $ A = (-1, 2, 3) $, $ B = (1, 4, -1) $, $ C = (3, -2, -1) $ e $ D = (0, 4, 1) $. Isso está relacionado à geometria no espaço tridimensional, especificamente sobre esferas. Para resolver, vamos precisar da fórmula geral da equação de uma esfera e resolver um sistema de equações para encontrar os parâmetros dessa esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da equação de uma esfera. A equação de uma esfera com centro no ponto $ (h, k, l) $ e raio $ r $ é dada por:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ h $, $ k $, $ l $ e $ r $ que fazem com que essa equação passe pelos quatro pontos dados.
Passo 3
Como a esfera passa pelos pontos $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $, cada um desses pontos satisfaz a equação da esfera. Vamos substituir as coordenadas de cada ponto na equação para obter um sistema de quatro equações:
Para o ponto $ A = (-1, 2, 3) $:
Para o ponto $ B = (1, 4, -1) $:
Para o ponto $ C = (3, -2, -1) $:
Para o ponto $ D = (0, 4, 1) $:
Passo 4
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas ($ h $, $ k $, $ l $, $ r $). Para simplificar, vamos subtrair a Equação 1 das Equações 2, 3 e 4 para eliminar $ r^2
h $, $ k $, $ l $).
Subtraindo Equação 1 de Equação 2:
Fazendo as contas, simplificamos e obtemos uma primeira equação.
Fazendo o mesmo para Equações 3 e 4, teremos mais duas equações.
Passo 5
Depois de simplificar as diferenças, resolvemos o sistema resultante para encontrar os valores de $ h $, $ k $ e $ l $. Isso envolve expandir os termos quadráticos, coletar termos semelhantes e resolver o sistema linear que surge.
Por exemplo, após simplificar, podemos encontrar que:
Passo 6
Agora, resolvemos esse sistema de equações lineares. Vamos usar o método da substituição ou eliminação.
Primeiro, da terceira equação:
Substituindo $ h = 2l - 3 $ na primeira e na segunda equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 7
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
Podemos somar Equação A e Equação B para eliminar $ k $:
Agora, substituímos $ l = \frac{1}{8} $ na Equação B para encontrar $ k $:
Agora, lembramos que $ h = 2l - 3 $:
Passo 8
Agora que temos os valores de $ h $, $ k $ e $ l $:
Precisamos encontrar o raio $ r $. Para isso, vamos substituir esses valores em uma das equações originais, por exemplo, na Equação 1:
Substituindo $ h $, $ k $ e $ l $:
Calculando cada termo:
Convertendo para denominador comum e somando:
Resposta
A equação da esfera $ S $ que passa pelos pontos $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ é: