Determine a equação geral do plano que contém os pontos A(1,-2,2) e B(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano pi1: 2 x+y-z+8=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que contém os pontos e , e que é perpendicular ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação geral de um plano tem a forma:
Ax + By + Cz + D = 0
Aqui, é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes e o termo .

Passo 3

Como o plano que queremos é perpendicular ao plano , os vetores normais dos dois planos também são perpendiculares. O vetor normal do plano é .

Passo 4

Precisamos encontrar o vetor normal n = k cdot n1 = k cdot (2, 1, -1) do nosso plano. Já que os planos são perpendiculares, o vetor normal do nosso plano deve ser paralelo ao vetor normal de . Isso significa que é múltiplo de , então podemos escrever:
Para simplificar, vamos assumir , então .

Passo 5

Agora, usamos os pontos 2(1) + (-2) - (2) + D = 0 2 - 2 - 2 + D = 0 -2 + D = 0 D = 2 e para encontrar o termo da equação do plano. Sabemos que os pontos pertencem ao plano, então eles devem satisfazer a equação .
Vamos substituir as coordenadas do ponto :

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a equação geral do plano:
2x + y - z + 2 = 0

Resposta

A equação geral do plano é:
2x + y - z + 2 = 0

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