Nos problemas 11 a 14 , escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos:
12) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação geral de um plano que passa pelos pontos A(2, 1, 0), B(-4, -2, -1) e C(0, 0, 1). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar encontrar um vetor normal ao plano e depois usar esse vetor para montar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um plano pode ser definido por um ponto que está nele e um vetor normal (perpendicular) a ele. A equação geral do plano é dada por:
Onde é um ponto no plano e são as componentes do vetor normal.
Passo 3
Para encontrar o vetor normal, vamos precisar de dois vetores que estão no plano. Podemos obter esses vetores fazendo a diferença entre os pontos dados. Vamos criar os vetores AB e AC:
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores, AB × AC. O produto vetorial de dois vetores nos dá um vetor que é perpendicular a ambos, ou seja, normal ao plano.
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é n = (-4, 8, 0).
Passo 5
Agora que temos o vetor normal, podemos usar qualquer um dos pontos dados para montar a equação do plano. Vamos usar o ponto A(2, 1, 0). Substituindo na equação geral:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Para deixar a equação mais simplificada, podemos dividir todos os termos por 4:
Resposta
A equação geral do plano determinado pelos pontos A, B e C é: