Nos problemas 11 a 14 , escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos:
12) A(2,1,0), B(-4,-2,-1) e C(0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação geral de um plano que passa pelos pontos A(2, 1, 0), B(-4, -2, -1) e C(0, 0, 1). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar encontrar um vetor normal ao plano e depois usar esse vetor para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um plano pode ser definido por um ponto que está nele e um vetor normal (perpendicular) a ele. A equação geral do plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano e (a, b, c) são as componentes do vetor normal.

Passo 3

Para encontrar o vetor normal, vamos precisar de dois vetores que estão no plano. Podemos obter esses vetores fazendo a diferença entre os pontos dados. Vamos criar os vetores AB e AC:
AB = B - A = (-4 - 2, -2 - 1, -1 - 0) = (-6, -3, -1)
AC = C - A = (0 - 2, 0 - 1, 1 - 0) = (-2, -1, 1)

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores, AB × AC. O produto vetorial de dois vetores nos dá um vetor que é perpendicular a ambos, ou seja, normal ao plano.
AB times AC = i & j & k -6 & -3 & -1 -2 & -1 & 1
Calculando o determinante:
i((-3)(1) - (-1)(-1)) - j((-6)(1) - (-1)(-2)) + k((-6)(-1) - (-3)(-2))
i(-3 - 1) - j(-6 - 2) + k(6 - 6)
i(-4) - j(-8) + k(0)
(-4, 8, 0)
Então, o vetor normal é n = (-4, 8, 0).

Passo 5

Agora que temos o vetor normal, podemos usar qualquer um dos pontos dados para montar a equação do plano. Vamos usar o ponto A(2, 1, 0). Substituindo na equação geral:
-4(x - 2) + 8(y - 1) + 0(z - 0) = 0

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
-4x + 8 + 8y - 8 + 0z = 0
-4x + 8y = 0
Para deixar a equação mais simplificada, podemos dividir todos os termos por 4:
- x + 2y = 0

Resposta

A equação geral do plano determinado pelos pontos A, B e C é:
- x + 2y = 0

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