Questão 3. Determine o valor de para que os pontos , e sejam coplanares. Determine a equação geral do plano que contém os pontos e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . Precisamos determinar o valor de que faz com que esses quatro pontos estejam todos no mesmo plano, ou seja, sejam coplanares. Além disso, devemos encontrar a equação geral desse plano.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre planos e a condição para pontos serem coplanares. Também vamos usar determinantes para encontrar o valor de e a equação do plano.
Passo 2
Para verificar se quatro pontos são coplanares, podemos usar o conceito de produto misto ou determinante. Se o determinante formado pelos vetores , e for igual a zero, então os quatro pontos estão no mesmo plano.
Primeiro, vamos encontrar os vetores , e .
Passo 3
Calculando os vetores:
Passo 4
Agora, formamos uma matriz com esses vetores e calculamos o determinante:
Para que os pontos sejam coplanares, esse determinante deve ser igual a zero.
Resolvendo para 14alpha = -42 Rightarrow alpha = -3 :
Passo 8
Agora que encontramos A(-3, -1, 5) , podemos escrever as coordenadas do ponto :
Para encontrar a equação geral do plano que contém os pontos , , e , podemos usar os vetores e para encontrar o vetor normal ao plano através do produto vetorial.
Passo 9
Primeiro, recalculamos os vetores com AB = B - A = (7 - (-3), 2 - (-1), 1 - 5) = (10, 3, -4) :
AC = C - A = (-1 - (-3), -3 - (-1), -1 - 5) = (2, -2, -6)
Passo 10
Calculamos o vetor normal n = i & j & k 10 & 3 & -4 2 & -2 & -6 = i(3 cdot (-6) - (-4) cdot (-2)) - j(10 cdot (-6) - (-4) cdot 2) + k(10 cdot (-2) - 3 cdot 2) :