Questão 3. Determine o valor de para que os pontos , e sejam coplanares. Determine a equação geral do plano que contém os pontos e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . Precisamos determinar o valor de que faz com que esses quatro pontos estejam todos no mesmo plano, ou seja, sejam coplanares. Além disso, devemos encontrar a equação geral desse plano.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre planos e a condição para pontos serem coplanares. Também vamos usar determinantes para encontrar o valor de e a equação do plano.
Passo 2
Para verificar se quatro pontos são coplanares, podemos usar o conceito de produto misto ou determinante. Se o determinante formado pelos vetores , e for igual a zero, então os quatro pontos estão no mesmo plano.
Primeiro, vamos encontrar os vetores , e .
Passo 3
Calculando os vetores:
Passo 4
Agora, formamos uma matriz com esses vetores e calculamos o determinante:
Para que os pontos sejam coplanares, esse determinante deve ser igual a zero.
Passo 5
Vamos calcular o determinante:
Calculando cada menor:
Substituindo de volta:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Distribuindo:
Somando os termos semelhantes:
Passo 7
Resolvendo para :
Passo 8
Agora que encontramos , podemos escrever as coordenadas do ponto :
Para encontrar a equação geral do plano que contém os pontos , , e , podemos usar os vetores e para encontrar o vetor normal ao plano através do produto vetorial.
Passo 9
Primeiro, recalculamos os vetores com :
Passo 10
Calculamos o vetor normal :
Calculando:
Podemos simplificar dividindo por -26:
Passo 11
Com o vetor normal e o ponto , a equação do plano é dada por:
Expandindo:
Resposta
O valor de que torna os pontos coplanares é . A equação geral do plano que contém os pontos , , e é: