Questão 3. Determine o valor de para que os pontos , e sejam coplanares. Determine a equação geral do plano que contém os pontos e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . Precisamos determinar o valor de que faz com que esses quatro pontos estejam todos no mesmo plano, ou seja, sejam coplanares. Além disso, devemos encontrar a equação geral desse plano.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre planos e a condição para pontos serem coplanares. Também vamos usar determinantes para encontrar o valor de e a equação do plano.

Passo 2

Para verificar se quatro pontos são coplanares, podemos usar o conceito de produto misto ou determinante. Se o determinante formado pelos vetores , e for igual a zero, então os quatro pontos estão no mesmo plano.
Primeiro, vamos encontrar os vetores , e .

Passo 3

Calculando os vetores:

Passo 4

Agora, formamos uma matriz com esses vetores e calculamos o determinante:
Para que os pontos sejam coplanares, esse determinante deve ser igual a zero.

Passo 5

Vamos calcular o determinante:
Calculando cada menor:
Substituindo de volta:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Distribuindo:
Somando os termos semelhantes:

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Agora que encontramos , podemos escrever as coordenadas do ponto :
Para encontrar a equação geral do plano que contém os pontos , , e , podemos usar os vetores e para encontrar o vetor normal ao plano através do produto vetorial.

Passo 9

Primeiro, recalculamos os vetores com :

Passo 10

Calculamos o vetor normal :
Calculando:
Podemos simplificar dividindo por -26:

Passo 11

Com o vetor normal e o ponto , a equação do plano é dada por:
Expandindo:

Resposta

O valor de que torna os pontos coplanares é . A equação geral do plano que contém os pontos , , e é:

Exercícios relacionados

INSTITUTO FEDERAL DE MINAS GERAIS <br> Campus Congonhas
Disciplina: Geometria Analítica
Professor: Marcus Vinícius Gomes de Lima
Lista 5: Plano
Determinar uma equação geral do plano:
b) Que passa pelos pontos e e é paralelo à reta :
Escreva equações vetorial e paramétrica para os planos descritos abaixo:
passa pelos pontos e .
Nos problemas 11 a 14 , escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos:
12) e .
Determine a equação geral do plano que contém os pontos e e é perpendicular ao plano .