Questão 3. Determine o valor de alpha para que os pontos A(alpha,-1,5), B(7,2,1), C(-1,-3,-1) e D(1,0,3) sejam coplanares. Determine a equação geral do plano que contém os pontos A, B, C e D.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . Precisamos determinar o valor de que faz com que esses quatro pontos estejam todos no mesmo plano, ou seja, sejam coplanares. Além disso, devemos encontrar a equação geral desse plano.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre planos e a condição para pontos serem coplanares. Também vamos usar determinantes para encontrar o valor de e a equação do plano.

Passo 2

Para verificar se quatro pontos são coplanares, podemos usar o conceito de produto misto ou determinante. Se o determinante formado pelos vetores , e for igual a zero, então os quatro pontos estão no mesmo plano.
Primeiro, vamos encontrar os vetores , e .

Passo 3

Calculando os vetores:
AB = B - A = (7 - alpha, 2 - (-1), 1 - 5) = (7 - alpha, 3, -4)
AC = C - A = (-1 - alpha, -3 - (-1), -1 - 5) = (-1 - alpha, -2, -6)
AD = D - A = (1 - alpha, 0 - (-1), 3 - 5) = (1 - alpha, 1, -2)

Passo 4

Agora, formamos uma matriz com esses vetores e calculamos o determinante:
7 - alpha & 3 & -4 -1 - alpha & -2 & -6 1 - alpha & 1 & -2
Para que os pontos sejam coplanares, esse determinante deve ser igual a zero.

Passo 5

Vamos calcular o determinante:
7 - alpha & 3 & -4 -1 - alpha & -2 & -6 1 - alpha & 1 & -2 = (7 - alpha) cdot -2 & -6 1 & -2 - 3 cdot -1 - alpha & -6 1 - alpha & -2 + (-4) cdot -1 - alpha & -2 1 - alpha & 1
Calculando cada menor:
-2 & -6 1 & -2 = (-2)(-2) - (-6)(1) = 4 + 6 = 10
-1 - alpha & -6 1 - alpha & -2 = (-1 - alpha)(-2) - (-6)(1 - alpha) = (2 + 2alpha) + 6 - 6alpha = 8 - 4alpha
-1 - alpha & -2 1 - alpha & 1 = (-1 - alpha)(1) - (-2)(1 - alpha) = (-1 - alpha) + 2 - 2alpha = 1 - 3alpha
Substituindo de volta:
(7 - alpha)(10) - 3(8 - 4alpha) + (-4)(1 - 3alpha) = 0

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
10(7 - alpha) - 3(8 - 4alpha) - 4(1 - 3alpha) = 0
Distribuindo:
70 - 10alpha - 24 + 12alpha - 4 + 12alpha = 0
Somando os termos semelhantes:
(70 - 24 - 4) + (-10alpha + 12alpha + 12alpha) = 0
42 + 14alpha = 0

Passo 7

Resolvendo para 14alpha = -42 Rightarrow alpha = -3 :

Passo 8

Agora que encontramos A(-3, -1, 5) , podemos escrever as coordenadas do ponto :
Para encontrar a equação geral do plano que contém os pontos , , e , podemos usar os vetores e para encontrar o vetor normal ao plano através do produto vetorial.

Passo 9

Primeiro, recalculamos os vetores com AB = B - A = (7 - (-3), 2 - (-1), 1 - 5) = (10, 3, -4) :
AC = C - A = (-1 - (-3), -3 - (-1), -1 - 5) = (2, -2, -6)

Passo 10

Calculamos o vetor normal n = i & j & k 10 & 3 & -4 2 & -2 & -6 = i(3 cdot (-6) - (-4) cdot (-2)) - j(10 cdot (-6) - (-4) cdot 2) + k(10 cdot (-2) - 3 cdot 2) :
n = i(-18 - 8) - j(-60 + 8) + k(-20 - 6) = i(-26) - j(-52) + k(-26)
Calculando:
n = (-26, 52, -26)
n = (1, -2, 1)
Podemos simplificar dividindo por -26:

Passo 11

Com o vetor normal 1(x + 3) - 2(y + 1) + 1(z - 5) = 0 e o ponto x + 3 - 2y - 2 + z - 5 = 0 , a equação do plano é dada por:
x - 2y + z - 4 = 0
Expandindo:

Resposta

O valor de x - 2y + z - 4 = 0 que torna os pontos coplanares é . A equação geral do plano que contém os pontos , , e é:

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