Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e .

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar a equação geral de um plano que:
  1. Passa pelo ponto .
  2. É perpendicular aos planos e .
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos e . O vetor normal de um plano representado por é .
  • Para , o vetor normal é .
  • Para , o vetor normal é .

Passo 3

Como o plano que queremos encontrar é perpendicular a ambos os planos e , o vetor normal desse novo plano deve ser perpendicular aos vetores normais e .
Para encontrar tal vetor, usamos o produto vetorial entre e :

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal do plano que queremos encontrar, podemos usar a equação geral do plano que passa por um ponto :
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto.

Passo 6

Substituindo os valores:
  • Vetor normal
  • Ponto
A equação fica:
Expandindo os termos:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:

Exercícios relacionados

Determine a equação vetorial da reta ® que passa por e intercepta a reta e cujo vetor diretor da reta ® é ortogonal ao vetor .
Sendo um espaço vetorial real de dimensão finita e com produto interno, considere as afirmações dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I) Se é um operador auto-adjunto então .
(II) O produto de uma matriz ortogonal por um escalar é sempre uma matriz ortogonal.
(III) Se uma matriz real , que não é múltipla escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então .
Qual das opções abaixo é a correta ?
(A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.
© Apenas a afirmação do item (III) é verdadeira.
(D) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (II) são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (III) são verdadeiras.
(F) Apenas as afirmações dos ítens (II) e (III) são verdadeiras.
(G) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas verdadeiras.
(H) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas falsas.
Escreva a equação geral do plano determinado pelas retas .
Sejam e transformações lineares definidas por:
Determine: a) Go F