Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto M(3,0,-4) e é perpendicular aos planos (pi1): 2 x-y-z=0 e (pi2): x+3 y-z+12=0.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar a equação geral de um plano que:
  1. Passa pelo ponto .
  2. É perpendicular aos planos e .
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos e . O vetor normal de um plano representado por é .
  • Para , o vetor normal é .
  • Para , o vetor normal é .

Passo 3

Como o plano que queremos encontrar é perpendicular a ambos os planos n = n1 times n2 e , o vetor normal desse novo plano deve ser perpendicular aos vetores normais e .
Para encontrar tal vetor, usamos o produto vetorial entre e :

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial n = i & j & k 2 & -1 & -1 1 & 3 & -1 :
n = i cdot [(-1)(-1) - (-1)(3)] - j cdot [(2)(-1) - (-1)(1)] + k cdot [(2)(3) - (-1)(1)]
Calculando o determinante:
n = i cdot (1 + 3) - j cdot (-2 + 1) + k cdot (6 + 1)
n = i cdot 4 - j cdot (-1) + k cdot 7
n = (4, 1, 7)

Passo 5

Agora que temos o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 do plano que queremos encontrar, podemos usar a equação geral do plano que passa por um ponto :
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto.

Passo 6

Substituindo os valores:
  • Vetor normal 4(x - 3) + 1(y - 0) + 7(z + 4) = 0
  • Ponto 4x - 12 + y + 7z + 28 = 0
A equação fica:
4x + y + 7z + 16 = 0
Expandindo os termos:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:
4x + y + 7z + 16 = 0

Exercícios relacionados