Escreva a equação geral do plano determinado pelas retas .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação geral do plano que é determinado pelas retas e . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar a equação de um plano dado duas retas. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e usar o produto vetorial para encontrar um vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta a partir das equações dadas.
Para a reta :
Podemos reescrever isso em forma paramétrica:
Então, o vetor diretor de é .
Para a reta :
Reescrevendo em forma paramétrica:
O vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, para encontrar um vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial dos vetores diretores das duas retas. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular ao plano.
Calculando:
Opa! Obtivemos o vetor nulo, isso significa que os vetores diretores são colineares, ou seja, as retas e são paralelas ou coincidentes. Porém, como elas têm pontos diferentes, elas são paralelas mas distintas, o que não define um único plano. Portanto, precisamos verificar se elas realmente determinam um plano ou não.

Passo 4

Como o produto vetorial resultou no vetor nulo, isso indica que as retas são paralelas. Para que duas retas paralelas determinem um plano, basta que elas estejam no mesmo plano ou que exista um plano que as contenha. Vamos verificar se existe um plano que contenha ambas as retas.
Vamos pegar um ponto de cada reta:
  • Ponto de : quando , temos .
  • Ponto de : quando , temos .
Agora, vamos formar um vetor que liga esses dois pontos:
Agora, usamos o vetor diretor e o vetor para determinar o vetor normal ao plano, já que o plano deve ser perpendicular a ambos.
Calculamos o produto vetorial :

Passo 5

Com o vetor normal e um ponto no plano, por exemplo , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Onde e é o ponto de referência.
Substituindo:
Expandindo:
Simplificando:
Podemos multiplicar toda a equação por -1 para simplificar os coeficientes:

Resposta

A equação geral do plano é:

Exercícios relacionados

Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e .
Determine a equação vetorial da reta ® que passa por e intercepta a reta e cujo vetor diretor da reta ® é ortogonal ao vetor .
Sejam e transformações lineares definidas por:
Determine: a) Go F
Se são tais que e , então pertence a qual dos seguintes intervalos?
(Sugestão: Use o (A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I)
(J)
(K)
(L)

(N)