Sejam F: R^3 R^2 e G: R^2 R^2 transformações lineares definidas por:
F(x, y, z)=(2 x-y, y-3 z) e G(x, y)=(x+y, 2 x-y)
Determine: a) Go F

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para determinarmos a composição das transformações lineares e , ou seja, . Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares entre espaços vetoriais. Para isso, vamos precisar aplicar as definições de e passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a composição . Isso significa que a gente aplica a transformação primeiro e depois aplica ao resultado de . Então, para um vetor em , vamos calcular e depois aplicar nesse resultado.

Passo 3

Vamos calcular F(x, y, z) = (2x - y, y - 3z) usando a definição dada:
Isso nos dá um vetor em .

Passo 4

Agora, com o resultado de G(a, b) = (a + b, 2a - b) , que é , vamos aplicar a transformação . A definição de é:
Onde e .

Passo 5

Substituindo G(2x - y, y - 3z) = ( (2x - y) + (y - 3z), 2(2x - y) - (y - 3z) ) e na expressão de , temos:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, simplificamos a primeira componente:
(2x - y) + (y - 3z) = 2x - y + y - 3z = 2x - 3z
Agora, a segunda componente:
2(2x - y) - (y - 3z) = 4x - 2y - y + 3z = 4x - 3y + 3z

Passo 7

Então, juntando as duas componentes, a composição G circ F (x, y, z) = (2x - 3z, 4x - 3y + 3z) fica:

Resposta

A composição das transformações lineares G circ F (x, y, z) = (2x - 3z, 4x - 3y + 3z) é dada por:

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