Durante uma prova de tiro ao alvo, um disco é lançado seguindo a trajetória de equação y = -x² + 8x, sendo y a altura, em metros, e x a distância que o disco está do atirador, também avaliada em metros. Já a bala atirada pelo atleta seguiu a trajetória com equação y = 2x até atingir o disco. Nessa situação, o disco foi atingido a uma altura
a) 8 m.
b) 10 m.
c) 12 m.
d) 15 m.
a) 8 m.
b) 10 m.
c) 12 m.
d) 15 m.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas trajetórias: a do disco e a da bala. A trajetória do disco é dada por $ y = -x^2 + 8x $ e a da bala por $ y = 2x $. O conteúdo aqui envolve equações do segundo grau e sistemas de equações para encontrar onde essas trajetórias se cruzam. Vamos precisar igualar as duas equações para descobrir a altura em que a bala atinge o disco.
Passo 2
Primeiro, igualamos as duas equações para encontrar o ponto de interseção:
Isso porque no ponto onde a bala atinge o disco, as alturas (y) nas duas trajetórias são iguais para a mesma distância (x).
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação. Subtraímos $ 2x $ de ambos os lados para deixar a equação igualada a zero:
Simplificando:
Passo 4
Vamos fatorar a equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis para x:
1. $ x = 0 $
2. $ -x + 6 = 0 \Rightarrow x = 6 $
Passo 5
A solução $ x = 0 $ representa o ponto inicial, onde o disco ainda não foi lançado. Então, a altura que interessa é quando $ x = 6 $ metros.
Passo 6
Para encontrar a altura (y) nesse ponto, substituímos $ x = 6 $ na equação da bala:
Resposta
O disco foi atingido a uma altura de 12 metros.