Determine a equação da hipérbole com centro na origem, com a equação
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa analisar a equação da hipérbole que está centrada na origem, ou seja, no ponto (0,0). A equação dada é
. Para resolver isso, vamos lembrar das características básicas das hipérboles e como identificar seus elementos principais a partir da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma padrão da equação da hipérbole. A forma geral para uma hipérbole com centro na origem é:
Como o centro está na origem, temos h = 0 e k = 0. Então, a equação simplifica para:
Comparando com a equação dada
, podemos ver que:
Passo 3
Agora, vamos identificar os vértices da hipérbole. Para uma hipérbole que abre horizontalmente (como no nosso caso, porque o termo de x está positivo), os vértices ficam a uma distância ‘a’ do centro ao longo do eixo x. Então, os vértices são:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar os focos. Para isso, precisamos calcular ‘c’, que está relacionado com ‘a’ e ‘b’ pela relação:
Os focos também ficam ao longo do eixo x, a uma distância ‘c’ do centro:
Passo 5
Por último, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são retas que a hipérbole se aproxima quando se afasta do centro. A inclinação das assíntotas é dada por:
Então, as equações das assíntotas são:
Resposta
A hipérbole com centro na origem e equação
tem:
- Vértices em (4, 0) e (-4, 0);
- Focos em (5, 0) e (-5, 0);
- Assíntotas dadas por
e .