Determine a equação da hipérbole com centro na origem, com a equação x^216-y^29=1 * *

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa analisar a equação da hipérbole que está centrada na origem, ou seja, no ponto (0,0). A equação dada é x^216 - y^29 = 1. Para resolver isso, vamos lembrar das características básicas das hipérboles e como identificar seus elementos principais a partir da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma padrão da equação da hipérbole. A forma geral para uma hipérbole com centro na origem é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Como o centro está na origem, temos h = 0 e k = 0. Então, a equação simplifica para:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Comparando com a equação dada x^216 - y^29 = 1, podemos ver que:
a^2 = 16 implies a = 4
b^2 = 9 implies b = 3

Passo 3

Agora, vamos identificar os vértices da hipérbole. Para uma hipérbole que abre horizontalmente (como no nosso caso, porque o termo de x está positivo), os vértices ficam a uma distância ‘a’ do centro ao longo do eixo x. Então, os vértices são:
V1 = (h + a, k) = (0 + 4, 0) = (4, 0)
V2 = (h - a, k) = (0 - 4, 0) = (-4, 0)

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar os focos. Para isso, precisamos calcular ‘c’, que está relacionado com ‘a’ e ‘b’ pela relação:
c^2 = a^2 + b^2
c^2 = 16 + 9 = 25 implies c = 5
Os focos também ficam ao longo do eixo x, a uma distância ‘c’ do centro:
F1 = (h + c, k) = (0 + 5, 0) = (5, 0)
F2 = (h - c, k) = (0 - 5, 0) = (-5, 0)

Passo 5

Por último, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são retas que a hipérbole se aproxima quando se afasta do centro. A inclinação das assíntotas é dada por:
y = pm bax
y = pm 34x
Então, as equações das assíntotas são:
y = 34x e y = -34x

Resposta

A hipérbole com centro na origem e equação x^216 - y^29 = 1 tem:
  • Vértices em (4, 0) e (-4, 0);
  • Focos em (5, 0) e (-5, 0);
  • Assíntotas dadas por y = 34x e y = -34x.

Exercícios relacionados