Mostre que os seguintes conjuntos a seguir não são espaços vetoriais.
(a) O intervalo
da reta real.
(a) O intervalo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto
na reta real não é um espaço vetorial. O conteúdo que vai rolar aqui é o de espaços vetoriais, e pra resolver isso, vamos precisar entender quais são as propriedades que definem um espaço vetorial e ver se o conjunto
as atende.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (nesse caso, os números reais) é um conjunto de vetores que satisfaz algumas propriedades, como ter um elemento zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, entre outras.
Passo 3
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto
.
Propriedade 1: Existência do elemento zero
No espaço vetorial, deve existir um vetor zero que, quando somado a qualquer vetor, não o altera. Aqui, o número zero está incluso no intervalo
, então essa parte tá ok.
Propriedade 2: Fechamento sob adição
Isso significa que se você pegar dois números no intervalo
e somar, o resultado também deve estar dentro de
. Mas olha só: se pegar
, que está fora do intervalo
. Isso já quebra a propriedade de fechamento sob adição.
Passo 4
Além disso, tem a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar. Se você multiplicar um número no intervalo
por um escalar positivo maior que 1, o resultado pode sair do intervalo. Por exemplo,
está no limite, mas
sai do intervalo.
Resposta
Então, como a adição de dois elementos do conjunto
pode resultar em um número fora desse intervalo, o conjunto
não é um espaço vetorial.