Mostre que os seguintes conjuntos a seguir não são espaços vetoriais.
(a) O intervalo [0,1] da reta real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto na reta real não é um espaço vetorial. O conteúdo que vai rolar aqui é o de espaços vetoriais, e pra resolver isso, vamos precisar entender quais são as propriedades que definem um espaço vetorial e ver se o conjunto as atende.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (nesse caso, os números reais) é um conjunto de vetores que satisfaz algumas propriedades, como ter um elemento zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, entre outras.

Passo 3

Vamos verificar essas propriedades para o conjunto .
Propriedade 1: Existência do elemento zero
No espaço vetorial, deve existir um vetor zero que, quando somado a qualquer vetor, não o altera. Aqui, o número zero está incluso no intervalo , então essa parte tá ok.
Propriedade 2: Fechamento sob adição
Isso significa que se você pegar dois números no intervalo e somar, o resultado também deve estar dentro de . Mas olha só: se pegar , que está fora do intervalo . Isso já quebra a propriedade de fechamento sob adição.

Passo 4

Além disso, tem a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar. Se você multiplicar um número no intervalo por um escalar positivo maior que 1, o resultado pode sair do intervalo. Por exemplo, está no limite, mas sai do intervalo.

Resposta

Então, como a adição de dois elementos do conjunto pode resultar em um número fora desse intervalo, o conjunto não é um espaço vetorial.

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