Dada a equação 2 x^2+3 y^2-4 x-6 y+5=0, identifique o tipo de cônica e determine suas características principais. ^* *

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Nosso objetivo é descobrir que tipo de cônica isso representa e entender suas características principais. Para isso, vamos usar técnicas de álgebra, como completar o quadrado, para reorganizar a equação de forma mais fácil de analisar.

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos de 2x^2 - 4x + 3y^2 - 6y = -5 e de , assim conseguimos completar o quadrado para cada uma dessas variáveis. A equação fica:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 2(x^2 - 2x) e de x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 . Para 2[(x - 1)^2 - 1] = 2(x - 1)^2 - 2 :
  1. Fatoramos o coeficiente de 3(y^2 - 2y) : y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2
  2. Completamos o quadrado dentro do parênteses: 3[(y - 1)^2 - 1] = 3(y - 1)^2 - 3
  3. Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro:
Para :
  1. Fatoramos o coeficiente de :
  2. Completamos o quadrado dentro do parênteses:
  3. Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
2(x - 1)^2 - 2 + 3(y - 1)^2 - 3 = -5
Simplificando:
2(x - 1)^2 + 3(y - 1)^2 - 5 = -5
2(x - 1)^2 + 3(y - 1)^2 = 0
Isso nos mostra que a única solução possível é quando e , ou seja, temos apenas um ponto específico.

Resposta

A equação representa um ponto localizado em . Não é uma cônica tradicional como elipse, hipérbole ou parábola, mas sim um ponto singular.

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