Determine os vértices e os focos da elipse que se obtém pela interseção de com o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vértices e os focos de uma elipse que surge quando a superfície dada pela equação é cortada pelo plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da elipse e propriedades dos vértices e focos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir o valor de na equação da superfície para encontrar a equação da curva de interseção no plano .
Substituindo na equação:

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
Agora, isolamos os termos com e :
Multiplicando ambos os lados por para facilitar:

Passo 4

Dividimos toda a equação por 8 para colocá-la na forma padrão da elipse:
Agora, identificamos os valores de e da elipse, onde está sob e está sob :

Passo 5

Os vértices da elipse estão localizados a uma distância e do centro ao longo dos eixos e , respectivamente. Como , os vértices principais estão ao longo do eixo .
Portanto, os vértices são:

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Os focos também estão ao longo do eixo , a uma distância do centro.
Portanto, os focos são:

Resposta

Os vértices da elipse são e , e os focos são e .

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