Determine os vértices e os focos da elipse que se obtém pela interseção de com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vértices e os focos de uma elipse que surge quando a superfície dada pela equação é cortada pelo plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da elipse e propriedades dos vértices e focos.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir o valor de na equação da superfície para encontrar a equação da curva de interseção no plano .
Substituindo na equação:
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Agora, isolamos os termos com e :
Multiplicando ambos os lados por para facilitar:
Passo 4
Dividimos toda a equação por 8 para colocá-la na forma padrão da elipse:
Agora, identificamos os valores de e da elipse, onde está sob e está sob :
Passo 5
Os vértices da elipse estão localizados a uma distância e do centro ao longo dos eixos e , respectivamente. Como , os vértices principais estão ao longo do eixo .
Portanto, os vértices são:
Passo 6
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Os focos também estão ao longo do eixo , a uma distância do centro.