Determine os vértices e os focos da elipse que se obtém pela interseção de -x^21-y^22+z^24=1 com o plano z=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vértices e os focos de uma elipse que surge quando a superfície dada pela equação é cortada pelo plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da elipse e propriedades dos vértices e focos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir o valor de -x^21 - y^22 + 6^24 = 1 na equação da superfície para encontrar a equação da curva de interseção no plano .
Substituindo na equação:

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
-x^21 - y^22 + 364 = 1 -x^21 - y^22 + 9 = 1
Agora, isolamos os termos com -x^21 - y^22 = 1 - 9 -x^21 - y^22 = -8 e x^21 + y^22 = 8 :
Multiplicando ambos os lados por para facilitar:

Passo 4

Dividimos toda a equação por 8 para colocá-la na forma padrão da elipse:
x^28 + y^216 = 1
Agora, identificamos os valores de a^2 = 8 Rightarrow a = 2raiz2 b^2 = 16 Rightarrow b = 4 e da elipse, onde está sob e está sob :

Passo 5

Os vértices da elipse estão localizados a uma distância (0, pm b) = (0, pm 4) e do centro ao longo dos eixos e , respectivamente. Como , os vértices principais estão ao longo do eixo .
Portanto, os vértices são:

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raizb^2 - a^2 = raiz16 - 8 = raiz8 = 2raiz2
Os focos também estão ao longo do eixo (0, pm c) = (0, pm 2raiz2) , a uma distância do centro.
Portanto, os focos são:

Resposta

Os vértices da elipse são e , e os focos são e .

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