Determine os vértices e os focos da elipse que se obtém pela interseção de
com o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vértices e os focos de uma elipse que surge quando a superfície dada pela equação
é cortada pelo plano
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da elipse e propriedades dos vértices e focos.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir o valor de
na equação da superfície para encontrar a equação da curva de interseção no plano
.
Substituindo
na equação:
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Agora, isolamos os termos com
e
:
Multiplicando ambos os lados por
para facilitar:
Passo 4
Dividimos toda a equação por 8 para colocá-la na forma padrão da elipse:
Agora, identificamos os valores de
e
da elipse, onde
está sob
e
está sob
:
Passo 5
Os vértices da elipse estão localizados a uma distância
e
do centro ao longo dos eixos
e
, respectivamente. Como
, os vértices principais estão ao longo do eixo
.
Portanto, os vértices são:
Passo 6
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Os focos também estão ao longo do eixo
, a uma distância
do centro.
Portanto, os focos são:
Resposta
Os vértices da elipse são
e
, e os focos são
e
.