Determine a equação da parábola que satisfaz as condições dadas:
(a) Vértice (0,0) e diretriz y=12;

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar a equação de uma parábola que tem o vértice na origem, ou seja, no ponto (0,0), e a diretriz é a reta y = 12. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre a forma padrão da equação de uma parábola e como a diretriz e o vértice influenciam essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma parábola com vértice na origem (0,0) que abre para cima ou para baixo é dada por:
x^2 = 4p y
Aqui, p representa a distância do vértice até o foco da parábola. A diretriz da parábola é uma reta que fica do lado oposto do foco em relação ao vértice e está a uma distância |p| do vértice.

Passo 3

No nosso caso, a diretriz é a reta y = 12. Como a diretriz está acima do vértice (0,0), isso significa que a parábola abre para baixo. Portanto, o valor de p será negativo.
Sabemos que a distância entre o vértice e a diretriz é |12| = 12. Então, temos:
p = -12

Passo 4

Agora, substituímos o valor de p na equação padrão da parábola:
x^2 = 4p y = 4 times (-12) y = -2y

Resposta

A equação da parábola é:
x^2 = -2y

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