(UFT)Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão (i+1)^4 é:
c) 16

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular o valor da expressão , onde é a unidade imaginária dos números complexos. Esse problema está relacionado à matéria de Números Complexos, especificamente à potência de números complexos. Para resolver, vamos precisar aplicar as propriedades de potências e entender como trabalhar com a unidade imaginária .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A unidade imaginária é definida pela propriedade . Essa definição é fundamental para simplificar expressões que envolvem potências de .

Passo 3

Agora, vamos calcular (a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k . Uma forma eficiente de resolver isso é utilizando a fórmula do binômio de Newton, que é uma expressão que permite expandir potências de uma soma.
A fórmula do binômio de Newton para é:
Onde é o coeficiente binomial.

Passo 4

Aplicando a fórmula do binômio para (1 + i)^4 = binom401^4 i^0 + binom411^3 i^1 + binom421^2 i^2 + binom431^1 i^3 + binom441^0 i^4 , temos:
= 1 cdot 1 cdot 1 + 4 cdot 1 cdot i + 6 cdot 1 cdot (-1) + 4 cdot 1 cdot (-i) + 1 cdot 1 cdot 1
Calculando cada termo:

Passo 5

Agora, somando todos os termos:
= 1 + 4i - 6 - 4i + 1
Perceba que os termos com 4i - 4i = 0 se cancelam:
1 - 6 + 1 = -4
E os termos constantes:

Resposta

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