Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(b) passa pelo ponto
e tem reta focal paralela ao eixo
;
(b) passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos a equação de uma parábola que tem o vértice na origem, passa pelo ponto
e tem a reta focal paralela ao eixo
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas e suas propriedades principais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma parábola com vértice na origem pode assumir diferentes formas, dependendo da orientação da parábola. Como a reta focal é paralela ao eixo
, isso significa que a parábola está aberta para os lados, ou seja, sua abertura é horizontal.
Passo 3
Para parábolas abertas horizontalmente, a equação padrão é:
Aqui,
representa a distância do vértice até o foco da parábola. Se
for positivo, a parábola abre para a direita; se for negativo, abre para a esquerda.
Passo 4
Sabemos que a parábola passa pelo ponto
. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar o valor de
:
Passo 5
Agora, resolvendo para
:
Então,
. Isso indica que o foco está a 4 unidades à direita do vértice, ou seja, no ponto
.
Passo 6
Com o valor de
encontrado, podemos escrever a equação completa da parábola:
Resposta
A equação da parábola é
, com vértice na origem
, foco em
e a reta direta correspondente à equação
.