Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(b) passa pelo ponto (4,-8) e tem reta focal paralela ao eixo O Y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos a equação de uma parábola que tem o vértice na origem, passa pelo ponto (4,-8) e tem a reta focal paralela ao eixo OY. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas e suas propriedades principais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma parábola com vértice na origem pode assumir diferentes formas, dependendo da orientação da parábola. Como a reta focal é paralela ao eixo OY, isso significa que a parábola está aberta para os lados, ou seja, sua abertura é horizontal.

Passo 3

Para parábolas abertas horizontalmente, a equação padrão é:
y^2 = 4px
Aqui, p representa a distância do vértice até o foco da parábola. Se p for positivo, a parábola abre para a direita; se for negativo, abre para a esquerda.

Passo 4

Sabemos que a parábola passa pelo ponto (4,-8). Vamos substituir esses valores na equação para encontrar o valor de p:
(-8)^2 = 4p(4)
64 = 16p

Passo 5

Agora, resolvendo para p:
p = 6416 = 4
Então, p = 4. Isso indica que o foco está a 4 unidades à direita do vértice, ou seja, no ponto (4,0).

Passo 6

Com o valor de p encontrado, podemos escrever a equação completa da parábola:
y^2 = 4 times 4 times x
y^2 = 16x

Resposta

A equação da parábola é y^2 = 16x, com vértice na origem (0,0), foco em (4,0) e a reta direta correspondente à equação x = -4.

Exercícios relacionados