(2,0 pts) Dadas as retas , que passa pelo ponto e tem direção do vetor e r2:ly=6-x z=2-x.
(a) Verifique se r1 e r2 são ou não coplanares.
(b) Se forem coplanares, são coincidentes, concorrentes ou paralelas? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço, chamadas r1 e r2. A gente vai trabalhar com Geometria Analítica aqui, especificamente com retas no espaço e conceitos como coplanaridade, coincidência, concorrência e paralelismo. Para resolver isso, vamos precisar das equações paramétricas das retas e usar vetores para analisar a relação entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas.
Para r1, que passa pelo ponto A1(2,4,0) e tem direção v1=(1,-1,-1), a equação paramétrica fica assim:
x = 2 + t y = 4 - t z = 0 - t
Onde t é o parâmetro.
Já para r2, as equações estão dadas de forma:
y = 6 - x z = 2 - x
Podemos reescrever isso parametrizando x = s, então:
x = s y = 6 - s z = 2 - s
Então, o vetor de direção de r2 é v2 = (1, -1, -1).
Passo 3
Agora, vamos verificar se as retas r1 e r2 são coplanares. Duas retas são coplanares se elas estiverem no mesmo plano ou se forem paralelas.
Para isso, vamos analisar os vetores diretores e o vetor que conecta um ponto de uma reta a um ponto da outra.
Temos v1 = (1, -1, -1) e v2 = (1, -1, -1). Como os vetores diretores são iguais, as retas são paralelas ou coincidentes. Para confirmar, vamos verificar se elas compartilham pelo menos um ponto ou se são paralelas sem se encontrarem.
Passo 4
Vamos ver se as retas são coincidentes ou apenas paralelas. Para isso, pegamos um ponto de r1 e verificamos se ele satisfaz as equações de r2.
Tomando o ponto A1(2,4,0) de r1:
y = 4 e y = 6 - x implies 4 = 6 - 2 implies 4 = 4 (Verdadeiro)
z = 0 e z = 2 - x implies 0 = 2 - 2 implies 0 = 0 (Verdadeiro)
Como o ponto A1 de r1 também está em r2, as retas são coincidentes.