Determine a equação do plano que é perpendicular ao plano alpha: x+y-2 z-6=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação de um plano que é perpendicular ao plano . Aqui, vamos usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre equações de planos e condições de perpendicularidade entre planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a estrutura da equação do plano Ax + By + Cz + D = 0 . A equação geral de um plano é dada por:
nalpha = (1, 1, -2)
Onde é o vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano. No caso do plano , o vetor normal é:

Passo 3

Agora, para o nosso plano ser perpendicular ao plano n cdot nalpha = 0 , os vetores normais dos dois planos devem ser perpendiculares entre si. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Se o vetor normal do nosso plano for a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot (-2) = 0 , então temos:
a + b - 2c = 0
Ou seja:

Passo 4

Essa equação 2 + 0 - 2c = 0 implies 2 - 2c = 0 implies c = 1 nos dá uma relação entre os coeficientes do vetor normal do nosso plano. No entanto, precisamos de mais informações para determinar uma equação única de um plano. Como o exercício não fornece um ponto específico pelo qual o plano passa, podemos expressar a equação do plano em termos de dois parâmetros.
Vamos escolher valores para 2x + 0y + 1z + D = 0 implies 2x + z + D = 0 e e resolver para . Por exemplo, podemos assumir e , então:
Portanto, o vetor normal do nosso plano é .
Agora, a equação geral do plano é:
Como não temos um ponto específico, deixaremos como constante geral, representando que existem infinitos planos perpendiculares a , cada um com uma posição diferente no espaço.

Resposta

A equação de um plano perpendicular ao plano 2x + z + D = 0 é:
Onde é uma constante que determina a posição específica do plano no espaço.

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