Sejam U=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y-2 z+t=0 e V=(x, y, z, t) in R^4 ; 2 x+y+2 z-t=0. Determine uma base para U cap V.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos dois conjuntos de vetores em U = (x, y, z, t) in R^4 ; | ; x + y - 2z + t = 0 , definidos por duas equações lineares:
V = (x, y, z, t) in R^4 ; | ; 2x + y + 2z - t = 0
Queremos encontrar uma base para a interseção desses dois conjuntos, . Isso significa encontrar todos os vetores que satisfazem ambas as equações simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas equações que definem x + y - 2z + t = 0 (1) 2x + y + 2z - t = 0 (2) e :
Nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para encontrar as relações entre as variáveis , , e .

Passo 3

Vamos resolver o sistema passo a passo. Podemos usar o método da adição para eliminar uma variável. Vamos somar as equações (1) e (2):
(x + y - 2z + t) + (2x + y + 2z - t) = 0 + 0
Simplificando:
3x + 2y = 0 (3)
Agora, temos uma nova equação (3). Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para 3x + 2y = 0 Rightarrow y = -32x :

Passo 4

Agora que temos x + (-32x) - 2z + t = 0 em termos de -12x - 2z + t = 0 Rightarrow t = 12x + 2z , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar uma relação entre , e :
Simplificando:
Agora, expressamos em termos de e .

Passo 5

Até agora, temos:
y = -32x
t = 12x + 2z
Isso significa que x = s e y = -32s são variáveis livres, ou seja, podemos atribuir a elas qualquer valor real. Vamos representar z = r e t = 12s + 2r , onde e são parâmetros reais.
Assim, as variáveis são expressas como:

Passo 6

Agora, podemos escrever o vetor (x, y, z, t) = (s, -32s, r, 12s + 2r) = s (1, -32, 0, 12) + r (0, 0, 1, 2) em termos de e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Resposta

Uma base para , (1, -dfrac32,; 0,; dfrac12), ;(0,; 0,; 1,; 2,) , é formada pelos vetores:

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