Sejam
e
. Determine uma base para
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos dois conjuntos de vetores em
, definidos por duas equações lineares:
Queremos encontrar uma base para a interseção desses dois conjuntos,
. Isso significa encontrar todos os vetores que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas equações que definem
e
:
Nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para encontrar as relações entre as variáveis
,
,
e
.
Passo 3
Vamos resolver o sistema passo a passo. Podemos usar o método da adição para eliminar uma variável. Vamos somar as equações (1) e (2):
Simplificando:
Agora, temos uma nova equação (3). Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para
:
Passo 4
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar uma relação entre
,
e
:
Simplificando:
Agora, expressamos
em termos de
e
.
Passo 5
Até agora, temos:
Isso significa que
e
são variáveis livres, ou seja, podemos atribuir a elas qualquer valor real. Vamos representar
e
, onde
e
são parâmetros reais.
Assim, as variáveis são expressas como:
Passo 6
Agora, podemos escrever o vetor
em termos de
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
.
Resposta
Uma base para
é formada pelos vetores: