Determine a equação do plano
contendo os pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação do plano
que contém os pontos
,
e
. Isso envolve geometria analítica, mais especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar encontrar uma equação que represente o plano usando as coordenadas desses três pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como encontrar um plano a partir de três pontos. Um plano no espaço pode ser definido por uma equação geral do tipo:
Onde
,
,
são os coeficientes que determinam a orientação do plano, e
é o termo constante.
Passo 3
Para encontrar esses coeficientes, vamos seguir alguns passos:
-
Encontrar dois vetores no plano: Podemos criar dois vetores usando os três pontos dados. Por exemplo, os vetores
e . -
Calcular o vetor normal ao plano: O vetor normal
ao plano é perpendicular a ambos os vetores e . Podemos encontrar usando o produto vetorial desses dois vetores:
- Montar a equação do plano: Com o vetor normal
e sabendo que o ponto está no plano, podemos substituir na equação geral do plano:
Passo 4
Vamos resumir os passos:
- Encontrar os vetores
e usando as coordenadas dos pontos. - Calcular o vetor normal
através do produto vetorial desses vetores. - Substituir
e as coordenadas de um dos pontos na equação geral do plano para obter a equação final.
Resposta
Seguindo esses passos, a equação do plano
que contém os pontos
,
e
é:
Onde
,
, e
são os componentes do vetor normal obtido através do produto vetorial de
e
, e
são as coordenadas do ponto
.