Mostre que dados dois pontos em , existe uma única reta que passa por esses pontos.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de geometria no espaço tridimensional, ou seja, em . A pergunta é: “mostre que dados dois pontos em , existe uma única reta que passa por esses pontos”. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir uma reta no espaço e como garantir que essa reta seja única passando pelos dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta no espaço pode ser definida de duas maneiras principais: por um ponto e um vetor diretor, ou por meio das equações paramétricas. Vamos usar a definição por ponto e vetor diretor, porque facilita mostrar a unicidade.
Passo 3
Se temos dois pontos, digamos e , podemos pensar no vetor que liga a , que chamaremos de vetor diretor. Esse vetor é dado por:
Esse vetor nos dá a direção da reta que queremos encontrar.
Passo 4
Agora, com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta:
Aqui, t é um parâmetro real que varia ao longo da reta.
Passo 5
Para mostrar que essa reta é única, imagine que exista outra reta que passe por P e Q. Essa outra reta também teria o mesmo vetor diretor v, já que ela precisa passar por ambos os pontos. Portanto, as equações parametrizadas dessa outra reta seriam exatamente as mesmas que definimos acima.
Resposta
Portanto, mostramos que dados dois pontos em R^3, existe uma única reta que passa por esses pontos, definida pelas equações paramétricas:
x = x1 + t(x2 - x1) y = y1 + t(y2 - y1) z = z1 + t(z2 - z1)