Mostre que dados dois pontos em , existe uma única reta que passa por esses pontos.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de geometria no espaço tridimensional, ou seja, em . A pergunta é: “mostre que dados dois pontos em , existe uma única reta que passa por esses pontos”. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir uma reta no espaço e como garantir que essa reta seja única passando pelos dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta no espaço pode ser definida de duas maneiras principais: por um ponto e um vetor diretor, ou por meio das equações paramétricas. Vamos usar a definição por ponto e vetor diretor, porque facilita mostrar a unicidade.
Passo 3
Se temos dois pontos, digamos e , podemos pensar no vetor que liga a , que chamaremos de vetor diretor. Esse vetor é dado por:
Esse vetor nos dá a direção da reta que queremos encontrar.
Passo 4
Agora, com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta:
Aqui, é um parâmetro real que varia ao longo da reta.
Passo 5
Para mostrar que essa reta é única, imagine que exista outra reta que passe por e . Essa outra reta também teria o mesmo vetor diretor , já que ela precisa passar por ambos os pontos. Portanto, as equações parametrizadas dessa outra reta seriam exatamente as mesmas que definimos acima.
Resposta
Portanto, mostramos que dados dois pontos em , existe uma única reta que passa por esses pontos, definida pelas equações paramétricas: