Mostre que dados dois pontos em , existe uma única reta que passa por esses pontos.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria no espaço tridimensional, ou seja, em . A pergunta é: “mostre que dados dois pontos em , existe uma única reta que passa por esses pontos”. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir uma reta no espaço e como garantir que essa reta seja única passando pelos dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta no espaço pode ser definida de duas maneiras principais: por um ponto e um vetor diretor, ou por meio das equações paramétricas. Vamos usar a definição por ponto e vetor diretor, porque facilita mostrar a unicidade.

Passo 3

Se temos dois pontos, digamos e , podemos pensar no vetor que liga a , que chamaremos de vetor diretor. Esse vetor é dado por:
Esse vetor nos dá a direção da reta que queremos encontrar.

Passo 4

Agora, com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta:
Aqui, é um parâmetro real que varia ao longo da reta.

Passo 5

Para mostrar que essa reta é única, imagine que exista outra reta que passe por e . Essa outra reta também teria o mesmo vetor diretor , já que ela precisa passar por ambos os pontos. Portanto, as equações parametrizadas dessa outra reta seriam exatamente as mesmas que definimos acima.

Resposta

Portanto, mostramos que dados dois pontos em , existe uma única reta que passa por esses pontos, definida pelas equações paramétricas:

Exercícios relacionados

Obtenha o ângulo entre os vetores da base canônica de .
Determine a equação do plano contendo os pontos e .
Sejam e três pontos em .
i.- Determine as equações das retas paramétricas e a equação vetorial da reta
a) que passa pelos pontos e
b) que passa pelos pontos e
c) que passa pelos pontos e
ii.-
a) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
b) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
c) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
iii.- Determinar a equação do plano que contém as interseções e e , e e .
Sejam e três pontos em .
i.- Determine as equações das retas paramétricas e a equação vetorial da reta
a) que passa pelos pontos e
b) que passa pelos pontos e
c) que passa pelos pontos e
ii.-
a) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
b) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
c) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
iii.- Determinar a equação do plano que contém as interseções e e , e e .