Obtenha o ângulo entre os vetores da base canônica de R^2.

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício que pede pra gente encontrar o ângulo entre os vetores da base canônica do R^2. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre vetores e ângulos entre eles. Pra resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula do produto escalar e entender como calcular a magnitude dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os vetores da base canônica de R^2. Eles são:
e1 = 1 0 e e2 = 0 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar desses dois vetores. O produto escalar entre dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2
Aplicando isso aos nossos vetores:
e1 cdot e2 = (1)(0) + (0)(1) = 0

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as magnitudes (ou normas) de cada vetor. A magnitude de um vetor u = (u1, u2) é:
||u|| = raizu1^2 + u2^2
Para e1:
||e1|| = raiz1^2 + 0^2 = raiz1 = 1
E para e2:
||e2|| = raiz0^2 + 1^2 = raiz1 = 1

Passo 5

Agora, usamos a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre os dois vetores:
costheta = e1 cdot e2||e1|| , ||e2||
Substituindo os valores que encontramos:
costheta = 01 times 1 = 0

Passo 6

Para achar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de 0:
theta = cos^-1(0) = pi2 radianos ou 90^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores da base canônica de R^2 é de 90^circ.

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