Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. c) determinado pelas retas x=1+2 t, y=4 t, z=-1+6 t e x=s, y=1+2 s, z=-2+3 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de um plano que é determinado pelas duas retas dadas:
  • Primeira reta: , ,
  • Segunda reta: , ,
Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como determinar a equação de um plano a partir de duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor é o vetor que indica a direção em que a reta se move, e é obtido pelos coeficientes dos parâmetros e .
  • Para a primeira reta, o vetor diretor é
  • Para a segunda reta, o vetor diretor é
Observamos que , ou seja, os vetores diretores são proporcionais, indicando que as retas são paralelas.

Passo 3

Como as retas são paralelas, para que ambas pertençam ao mesmo plano, precisamos verificar se elas são coincidentes ou se são duas retas paralelas distintas.
Vamos pegar um ponto de cada reta:
  • Ponto na primeira reta quando :
  • Ponto na segunda reta quando :
Agora, vamos formar o vetor que liga esses dois pontos:

Passo 4

Para determinar o plano, precisamos de um vetor normal a ele. Esse vetor normal pode ser encontrado pelo produto vetorial entre o vetor diretor das retas (já que são paralelas) e o vetor que liga os dois pontos n = w times AB = i & j & k 1 & 2 & 3 -1 & 1 & -1 .
Então, calculamos:
n = (2 times (-1) - 3 times 1)i - (1 times (-1) - 3 times (-1))j + (1 times 1 - 2 times (-1))k
n = (-2 - 3)i - (-1 + 3)j + (1 + 2)k = (-5, -2, 3)

Passo 5

Agora que temos o vetor normal n cdot ( r - r0 ) = 0 e um ponto no plano (pode ser -5(x - 1) -2(y - 0) +3(z + 1) = 0 ou -5x + 5 - 2y + 3z + 3 = 0 ), vamos usar a fórmula da equação do plano:
-5x - 2y + 3z + 8 = 0
Onde 5x + 2y - 3z = 8 é um ponto genérico no plano e é o ponto .
Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando por -1 para deixar a equação mais comum:

Resposta

A equação do plano é .

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