Obtenha equações paramétricas da reta que satisfaz as condições dadas.
49. A reta que passa por (-2,0,5) e é paralela à reta x=1+2 t, y=4-t, z=6+2 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto (-2, 0, 5) e que é paralela a outra reta dada pelas equações x = 1 + 2t, y = 4 - t, z = 6 + 2t. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas no espaço. Para resolver isso, precisamos identificar a direção da reta paralela e o ponto pelo qual a nova reta passa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser paralela a outra. Duas retas são paralelas se elas têm a mesma direção, ou seja, os vetores diretores das duas retas são proporcionais. Olhando para as equações da reta dada:
x = 1 + 2t y = 4 - t z = 6 + 2t
O vetor diretor dessa reta é dado pelos coeficientes de t, que são (2, -1, 2). Então, o vetor diretor da reta paralela que queremos encontrar também será (2, -1, 2).

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor, vamos usar o ponto pelo qual a nova reta passa, que é (-2, 0, 5). As equações paramétricas de uma reta no espaço podem ser escritas da seguinte forma:
x = x0 + a cdot s y = y0 + b cdot s z = z0 + c cdot s
Onde (x0, y0, z0) é o ponto pelo qual a reta passa, (a, b, c) é o vetor diretor, e s é o parâmetro.

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
  • Ponto: (-2, 0, 5)
  • Vetor diretor: (2, -1, 2)
As equações ficam:
x = -2 + 2s y = 0 - s z = 5 + 2s

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = -2 + 2s y = -s z = 5 + 2s
Onde s é o parâmetro.

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