Obtenha equações paramétricas da reta que satisfaz as condições dadas.
47. A reta que é tangente ao círculo x^2+y^2=25 no ponto (3,-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações paramétricas de uma reta que é tangente ao círculo no ponto . Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, e vamos precisar entender como determinar a reta tangente a um círculo em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente a um círculo. Uma reta tangente toca o círculo em exatamente um ponto e é perpendicular ao raio do círculo nesse ponto de tangência. No nosso caso, o círculo tem equação , o que significa que seu centro está na origem e o raio é (já que ).

Passo 3

Sabemos que a reta tangente será perpendicular ao raio que vai do centro do círculo até o ponto de tangência . Vamos encontrar o vetor direção desse raio. O vetor que vai de a é .

Passo 4

Como a reta tangente é perpendicular ao raio, o vetor direção da reta tangente deve ser perpendicular a r cdot v = 3a + (-4)b = 0 . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. Vamos chamar o vetor direção da reta tangente de .
Então:

Passo 5

Vamos resolver a equação 3(4) - 4b = 0 implies 12 - 4b = 0 implies b = 3 para encontrar uma relação entre e . Podemos, por exemplo, escolher , então:
Então, o vetor direção da reta tangente é .

Passo 6

Agora que temos o ponto de tangência x = x0 + at y = y0 + bt e o vetor direção x = 3 + 4t y = -4 + 3t , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto com vetor direção são:
Substituindo os valores:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:
x = 3 + 4t y = -4 + 3t
onde é o parâmetro.

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