Obtenha equações paramétricas da reta que satisfaz as condições dadas.
47. A reta que é tangente ao círculo
no ponto
.
47. A reta que é tangente ao círculo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações paramétricas de uma reta que é tangente ao círculo
no ponto
. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, e vamos precisar entender como determinar a reta tangente a um círculo em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente a um círculo. Uma reta tangente toca o círculo em exatamente um ponto e é perpendicular ao raio do círculo nesse ponto de tangência. No nosso caso, o círculo tem equação
, o que significa que seu centro está na origem
e o raio é
(já que
).
Passo 3
Sabemos que a reta tangente será perpendicular ao raio que vai do centro do círculo
até o ponto de tangência
. Vamos encontrar o vetor direção desse raio. O vetor que vai de
a
é
.
Passo 4
Como a reta tangente é perpendicular ao raio, o vetor direção da reta tangente deve ser perpendicular a
. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. Vamos chamar o vetor direção da reta tangente de
.
Então:
Passo 5
Vamos resolver a equação
para encontrar uma relação entre
e
. Podemos, por exemplo, escolher
, então:
Então, o vetor direção da reta tangente é
.
Passo 6
Agora que temos o ponto de tangência
e o vetor direção
, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto
com vetor direção
são:
Substituindo os valores:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente são:
onde
é o parâmetro.