Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície dada no ponto indicado:
(b) ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície dada por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que representa a superfície. Aqui, . Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais dessa função em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
O vetor normal ao plano tangente é formado pelas derivadas parciais no ponto . Então, temos o vetor normal:
Passo 6
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano tangente usando a forma geral:
Onde e .
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar essa equação:
Passo 8
Agora, para encontrar a equação da reta normal, usamos o vetor normal como direção e o ponto . A forma paramétrica da reta é:
Substituindo:
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: