Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície dada no ponto indicado:
(b) z = 4xy,
P = (4,1 / 4,4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal à superfície dada por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que representa a superfície. Aqui, . Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais dessa função em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

O vetor normal ao plano tangente é formado pelas derivadas parciais no ponto . Então, temos o vetor normal:

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano tangente usando a forma geral:
Onde e .
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar essa equação:

Passo 8

Agora, para encontrar a equação da reta normal, usamos o vetor normal como direção e o ponto . A forma paramétrica da reta é:
Substituindo:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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