Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície definida por no ponto . Isso está na área de cálculo diferencial, especificamente quando estudamos superfícies e suas tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função dada é:
Para derivar em relação a :
E para derivar em relação a :
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto específico :
Passo 4
Com as derivadas parciais encontradas, vamos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar essa equação:
Podemos também escrever essa equação na forma geral:
Passo 5
Agora, vamos achar a equação da reta normal à superfície no ponto . A reta normal tem a direção do vetor gradiente da função nesse ponto. O vetor gradiente é formado pelas derivadas parciais e um componente para :
Substituindo os valores que temos:
Com isso, as equações paramétricas da reta normal são:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: