Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície definida por no ponto . Isso está na área de cálculo diferencial, especificamente quando estudamos superfícies e suas tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função dada é:
Para derivar em relação a :
E para derivar em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto específico :

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, vamos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar essa equação:
Podemos também escrever essa equação na forma geral:

Passo 5

Agora, vamos achar a equação da reta normal à superfície no ponto . A reta normal tem a direção do vetor gradiente da função nesse ponto. O vetor gradiente é formado pelas derivadas parciais e um componente para :
Substituindo os valores que temos:
Com isso, as equações paramétricas da reta normal são:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
E as equações paramétricas da reta normal são:

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Apresente um motivo pelo qual o vetor gradiente é importante.
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