Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado.
z = y ln x, (1, 4, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto . A superfície dada é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica, que nos ajudam a encontrar planos tangentes e retas normais a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda em cada direção.

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto específico . Substituindo e :

Passo 4

Com as derivadas em mãos, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície no ponto é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície nesse ponto. A reta normal tem a direção do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais e pelo componente para a direção de :
Usando a forma paramétrica da reta que passa pelo ponto com direção :

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
E a equação paramétrica da reta normal é:

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