Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto
. A superfície dada é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica, que nos ajudam a encontrar planos tangentes e retas normais a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda em cada direção.
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto específico
. Substituindo
e
:
Passo 4
Com as derivadas em mãos, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície
no ponto
é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície nesse ponto. A reta normal tem a direção do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais e pelo componente
para a direção de
:
Usando a forma paramétrica da reta que passa pelo ponto
com direção
:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é:
E a equação paramétrica da reta normal é: