Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado.
,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada pela função no ponto específico . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nas direções e , que são essenciais para determinar o plano tangente.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas no ponto dado . Substituindo e :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
Então, essa é a equação do plano tangente.

Passo 6

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos de um vetor normal à superfície no ponto dado. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais e , assim como a componente na direção , que é (porque a normal é perpendicular ao plano tangente).
Portanto, o vetor normal é .

Passo 7

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal:
Onde e é o parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é e a reta normal é dada por:

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