Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado. ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada pela função no ponto específico . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nas direções e , que são essenciais para determinar o plano tangente.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas no ponto dado . Substituindo e :
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
Então, essa é a equação do plano tangente.
Passo 6
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos de um vetor normal à superfície no ponto dado. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais e , assim como a componente na direção , que é (porque a normal é perpendicular ao plano tangente).
Portanto, o vetor normal é .
Passo 7
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal:
Onde e é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente é e a reta normal é dada por: