Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z = e^x ln(y), (3, 1, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais para achar as inclinações do plano nas direções de e .

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o ponto realmente está na superfície. Substituindo e na equação da superfície:
Sabemos que , então:
Então, o ponto está na superfície.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas encontradas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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