Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z = y^2 - x^2, (-4, 5, 9)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde estudamos superfícies e seus planos tangentes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está na superfície . Substituindo e na equação:
Então, o ponto está correto na superfície.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dão as inclinações da superfície nas direções dos eixos.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores que temos:

Resposta

Simplificando a equação, temos:
Então, a equação do plano tangente à superfície no ponto é .

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