Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização
da função no ponto dado.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos a função
e o ponto
. Precisamos:
- Explicar por que essa função é diferenciável nesse ponto.
- Encontrar a linearização
da função no ponto dado.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
. As derivadas parciais nos ajudarão a verificar a diferenciabilidade e a construir a linearização.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
Como as derivadas parciais existem e são contínuas ao redor do ponto
, a função
é diferenciável nesse ponto.
Passo 4
Com as derivadas parciais conhecidas, podemos construir a linearização
da função no ponto
usando a fórmula:
onde
.
Resposta
A linearização da função no ponto
é: