Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização T(x, y) da função no ponto dado.
f(x, y) = raiz(1 + x^2 * y^2), (0, 2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos a função e o ponto . Precisamos:
  1. Explicar por que essa função é diferenciável nesse ponto.
  2. Encontrar a linearização da função no ponto dado.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto . As derivadas parciais nos ajudarão a verificar a diferenciabilidade e a construir a linearização.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
Como as derivadas parciais existem e são contínuas ao redor do ponto , a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 4

Com as derivadas parciais conhecidas, podemos construir a linearização da função no ponto usando a fórmula:
onde .

Resposta

A linearização da função no ponto é:

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