Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto específico
. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais que nos ajudam a determinar as taxas de variação da função em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, entendemos que o plano tangente a uma superfície
em um ponto
pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui,
e
representam as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função
.
-
Derivada parcial em relação a
: Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia. -
Derivada parcial em relação a
: Novamente, aplicamos a regra da cadeia.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
-
Calculando
: -
Calculando
:
Passo 5
Com esses valores, substituímos na fórmula do plano tangente:
Sabemos que
.
Substituindo:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é: