Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z=x e^x y, (2,0,2)

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto específico . Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais que nos ajudam a determinar as taxas de variação da função em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, entendemos que o plano tangente a uma superfície z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) em um ponto pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui, e representam as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função fx = partialpartial x (x e^x y) = e^x y + x y e^x y .
  • Derivada parcial em relação a fy = partialpartial y (x e^x y) = x^2 e^x y :
    Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
  • Derivada parcial em relação a :
    Novamente, aplicamos a regra da cadeia.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto fx(2, 0) = e^2 cdot 0 + 2 cdot 0 cdot e^2 cdot 0 = e^0 + 0 = 1 :
  • Calculando fy(2, 0) = 2^2 e^2 cdot 0 = 4 e^0 = 4 :
  • Calculando :

Passo 5

Com esses valores, substituímos na fórmula do plano tangente:
z = f(2, 0) + fx(2, 0)(x - 2) + fy(2, 0)(y - 0)
Sabemos que z = 2 + 1(x - 2) + 4(y - 0) = 2 + x - 2 + 4y .
Substituindo:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície z = x + 4 y no ponto é:

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