Nos exercícios 11 e 12, (a) expresse , e como funções de e usando a Regra da Cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Então calcule e no ponto dado . ;
Passo 1
Vamos lá! Temos a função , onde são expressas em termos de . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a cada uma dessas variáveis usando a Regra da Cadeia. Depois, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto específico . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em derivadas parciais e seguir os passos direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos definir em termos de :
Essas são equações lineares simples que representam cada uma das variáveis em função das outras três.
Passo 3
Agora, vamos expressar diretamente em termos de . Substituindo as expressões de na fórmula de :
Simplificando as expressões no numerador e denominador:
Então, agora temos diretamente em função de e .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a usando a Regra da Cadeia.
Derivada parcial em relação a :
Observando que , percebemos que não depende de . Portanto:
Derivada parcial em relação a :
Temos:
Aplicando a Regra do Quociente, onde e :
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Derivada parcial em relação a :
Novamente, temos:
Aplicando a Regra do Quociente, onde e :
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores das derivadas no ponto .