Nos exercícios 11 e 12, (a) expresse , e como funções de e usando a Regra da Cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Então calcule e no ponto dado .
;

Passo 1

Vamos lá! Temos a função , onde são expressas em termos de . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a cada uma dessas variáveis usando a Regra da Cadeia. Depois, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto específico . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em derivadas parciais e seguir os passos direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos definir em termos de :
Essas são equações lineares simples que representam cada uma das variáveis em função das outras três.

Passo 3

Agora, vamos expressar diretamente em termos de . Substituindo as expressões de na fórmula de :
Simplificando as expressões no numerador e denominador:
Então, agora temos diretamente em função de e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a usando a Regra da Cadeia.
  1. Derivada parcial em relação a :
    Observando que , percebemos que não depende de . Portanto:
  2. Derivada parcial em relação a :
    Temos:
    Aplicando a Regra do Quociente, onde e :
    Calculando as derivadas:
    Substituindo:
  3. Derivada parcial em relação a :
    Novamente, temos:
    Aplicando a Regra do Quociente, onde e :
    Calculando as derivadas:
    Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores das derivadas no ponto .
  1. Para :
  2. Para :
    Substituindo e :
  3. Para :
    Substituindo e :

Resposta

As derivadas parciais no ponto são:

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