Nos exercícios 11 e 12, (a) expresse , e como funções de e usando a Regra da Cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Então calcule e no ponto dado . ;
Passo 1
Vamos lá! Temos a função , onde são expressas em termos de . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a cada uma dessas variáveis usando a Regra da Cadeia. Depois, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto específico . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em derivadas parciais e seguir os passos direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos definir em termos de :
Essas são equações lineares simples que representam cada uma das variáveis em função das outras três.
Passo 3
Agora, vamos expressar u = p - qq - r = (x + y + z) - (x - y + z)(x - y + z) - (x + y - z) diretamente em termos de u = 2y-2y + 2z = y-y + z . Substituindo as expressões de na fórmula de :
Simplificando as expressões no numerador e denominador:
Então, agora temos diretamente em função de e .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = 0 em relação a u = y-y + z usando a Regra da Cadeia.
Derivada parcial em relação a partial upartial y = g cdot dfdy - f cdot dgdyg^2 :
Observando que dfdy = 1 e dgdy = -1 , percebemos que partial upartial y = (-y + z)(1) - y(-1)(-y + z)^2 = -y + z + y(-y + z)^2 = z(-y + z)^2 não depende de u = y-y + z . Portanto:
partial upartial z = g cdot dfdz - f cdot dgdzg^2
Derivada parcial em relação a dfdz = 0 e dgdz = 1 :