Nos exercícios 11 e 12, (a) expresse partial u / partial x, partial u / partial y e partial u / partial z como funções de x, y e z usando a Regra da Cadeia e também expressando u diretamente em termos de x, y e z antes de diferenciar. Então calcule partial u / partial x, partial u / partial y e partial u / partial z no ponto dado (x, y, z).
u=p-qq-r, p=x+y+z, q=x-y+z, r=x+y-z; (x, y, z)=(raiz3, 2,1)

Passo 1

Vamos lá! Temos a função , onde são expressas em termos de . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a cada uma dessas variáveis usando a Regra da Cadeia. Depois, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto específico . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em derivadas parciais e seguir os passos direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos definir p = x + y + z q = x - y + z r = x + y - z em termos de :
Essas são equações lineares simples que representam cada uma das variáveis em função das outras três.

Passo 3

Agora, vamos expressar u = p - qq - r = (x + y + z) - (x - y + z)(x - y + z) - (x + y - z) diretamente em termos de u = 2y-2y + 2z = y-y + z . Substituindo as expressões de na fórmula de :
Simplificando as expressões no numerador e denominador:
Então, agora temos diretamente em função de e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = 0 em relação a u = y-y + z usando a Regra da Cadeia.
  1. Derivada parcial em relação a partial upartial y = g cdot dfdy - f cdot dgdyg^2 :
    Observando que dfdy = 1 e dgdy = -1 , percebemos que partial upartial y = (-y + z)(1) - y(-1)(-y + z)^2 = -y + z + y(-y + z)^2 = z(-y + z)^2 não depende de u = y-y + z . Portanto:
    partial upartial z = g cdot dfdz - f cdot dgdzg^2
  2. Derivada parcial em relação a dfdz = 0 e dgdz = 1 :
    Temos:
    partial upartial z = (-y + z)(0) - y(1)(-y + z)^2 = -y(-y + z)^2 = y(y - z)^2
    Aplicando a Regra do Quociente, onde e :
    Calculando as derivadas:
    Substituindo:
  3. Derivada parcial em relação a :
    Novamente, temos:
    Aplicando a Regra do Quociente, onde e :
    Calculando as derivadas:
    Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores das derivadas no ponto partial upartial x = 0 .
  1. Para partial upartial y = 1(-2 + 1)^2 = 1(-1)^2 = 11 = 1 :
    partial upartial z = 2(2 - 1)^2 = 21 = 2
  2. Para :
    Substituindo e :
  3. Para :
    Substituindo e :

Resposta

As derivadas parciais no ponto partial upartial x = 0, partial upartial y = 1, partial upartial z = 2 são:

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