Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
25.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência. Vamos passo a passo entender como determinar esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a nossa série de potências. Ela está na forma geral:
No nosso caso, podemos reescrever a série como:
Aqui, parece que temos algo na forma , mas para facilitar a aplicação dos testes, vamos ajustar a expressão.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então nossa série fica:
Agora, temos uma série na forma , onde queremos descobrir para quais valores de essa série converge.
Passo 4
Para encontrar o raio de convergência, usamos o teste da razão (ou teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a determinar até onde a série vai convergir.
O teste da razão diz que:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não conclui.
Passo 5
Vamos aplicar o teste da razão na nossa série .
Primeiro, identificamos . Então,
Agora, calculamos o limite:
Sabemos que , então:
Passo 6
De acordo com o teste da razão, a série converge quando . Ou seja:
Substituindo :
Essa desigualdade nos ajuda a encontrar os valores de para os quais a série converge.
Passo 7
Vamos resolver a desigualdade :
Subtraindo 1 de todos os lados:
Dividindo tudo por 4:
Então, o raio de convergência é , e a série converge para no intervalo .
Passo 8
Agora, precisamos verificar os pontos extremos do intervalo para saber se a série também converge nesses pontos.
Primeiro, vamos testar :
A série fica:
Essa é uma série alternada que converge, já que tende a zero e é decrescente.
Agora, vamos testar :
A série fica:
Essa é a série com , que também converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .