Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
25. sumn=1^infty (4 x+1)^nn^2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty (4x + 1)^nn^2
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência. Vamos passo a passo entender como determinar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a nossa série de potências. Ela está na forma geral:
sumn=1^infty an (x - c)^n
No nosso caso, podemos reescrever a série como:
sumn=1^infty (4x + 1)^nn^2 = sumn=1^infty [4(x) + 1]^nn^2
Aqui, parece que temos algo na forma , mas para facilitar a aplicação dos testes, vamos ajustar a expressão.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja sumn=1^infty u^nn^2 , então nossa série fica:
Agora, temos uma série na forma , onde queremos descobrir para quais valores de essa série converge.

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência, usamos o teste da razão (ou teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a determinar até onde a série vai convergir.
O teste da razão diz que:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não conclui.

Passo 5

Vamos aplicar o teste da razão na nossa série an+1an = u^n+1(n+1)^2u^nn^2 = u cdot ( nn+1 )^2 .
Primeiro, identificamos L = limn to infty |u| cdot ( nn+1 )^2 = |u| cdot limn to infty ( nn+1 )^2 . Então,
L = |u|
Agora, calculamos o limite:
Sabemos que , então:

Passo 6

De acordo com o teste da razão, a série converge quando |u| < 1 . Ou seja:
|4x + 1| < 1
Substituindo :
Essa desigualdade nos ajuda a encontrar os valores de para os quais a série converge.

Passo 7

Vamos resolver a desigualdade -1 < 4x + 1 < 1 :
-2 < 4x < 0
Subtraindo 1 de todos os lados:
-12 < x < 0
Dividindo tudo por 4:
Então, o raio de convergência é , e a série converge para no intervalo .

Passo 8

Agora, precisamos verificar os pontos extremos do intervalo para saber se a série também converge nesses pontos.
Primeiro, vamos testar 4(-12) + 1 = -2 + 1 = -1 :
sumn=1^infty (-1)^nn^2
A série fica:
4(0) + 1 = 1
Essa é uma série alternada que converge, já que sumn=1^infty 1^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2 tende a zero e é decrescente.
Agora, vamos testar :
A série fica:
Essa é a série com , que também converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados