Determine a equação da quádrica tal que para todo ponto P=(x, y, z) na quádrica, o módulo da diferença entre as distâncias de P aos pontos (0,-3,0) e (0,3,0) seja igual a 2. Em seguida, faça um esboço do seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a equação de uma quádrica (que é tipo uma superfície no espaço, como uma esfera ou um hiperboloide) onde, para qualquer ponto nessa superfície, a diferença entre as distâncias de aos pontos e tem módulo igual a 2. Vamos precisar usar a fórmula da distância no espaço e um pouco de álgebra pra chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a condição dada. Queremos que a diferença das distâncias de qualquer ponto |d(P, A) - d(P, B)| = 2 na superfície até os dois pontos fixos e seja sempre 2. Isso pode ser escrito matematicamente como:
Onde é a distância entre e , e é a distância entre e .

Passo 3

Vamos calcular as distâncias usando a fórmula da distância no espaço:
d(P, A) = raiz(x - 0)^2 + (y - (-3))^2 + (z - 0)^2 = raizx^2 + (y + 3)^2 + z^2
d(P, B) = raiz(x - 0)^2 + (y - 3)^2 + (z - 0)^2 = raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2
Substituindo essas expressões na condição dada:
| raizx^2 + (y + 3)^2 + z^2 - raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2 | = 2

Passo 4

Para facilitar a resolução, vamos eliminar o valor absoluto e as raízes quadradas. Sabemos que se raizx^2 + (y + 3)^2 + z^2 - raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 2 , então raizx^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 2 + raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2 ou . Vamos considerar apenas uma das possibilidades e resolver:
Agora, vamos isolar uma das raízes:

Passo 5

Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
x^2 + (y + 3)^2 + z^2 = (2 + raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2)^2
Expandindo o lado direito:
x^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 4 + 4raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2 + x^2 + (y - 3)^2 + z^2
Agora, vamos simplificar os termos:
x^2 + y^2 + 6y + 9 + z^2 = 4 + 4raizx^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2 + x^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2
Cancelando 6y + 9 = 4 + 4raizx^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2 -6y + 9 e 12y = 4 + 4raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2 de ambos os lados:
3y = 1 + raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2
Reorganizando os termos:
raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 3y - 1
Dividindo todos os termos por 4:
x^2 + (y - 3)^2 + z^2 = (3y - 1)^2
Isolando a raiz:
x^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2 = 9y^2 - 6y + 1
Elevando ao quadrado novamente:
Expandindo o lado direito:

Passo 6

Agora, vamos levar tudo para um lado da equação para simplificar:
x^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 9y^2 + 6y - 1 = 0
Simplificando os termos:
x^2 + z^2 -8y^2 +8 = 0
Podemos reorganizar para deixar a equação mais clara:
8y^2 = x^2 + z^2 +8
Dividindo todos os termos por 8:
y^2 = 18x^2 + 18z^2 +1
Essa é a equação da nossa superfície. Ela representa um hiperboloide de uma folha, que é uma superfície quadrática com duas “folhas” simétricas. No nosso caso, como o termo de é positivo e os outros são negativos, temos um hiperboloide de uma folha ao longo do eixo .

Resposta

A equação da quádrica é:
y^2 = 18x^2 + 18z^2 + 1
Ela representa um hiperboloide de uma folha, simétrico em relação ao eixo . Para esboçar, imagine duas “folhas” curvas abertas ao longo do eixo , espalhando-se infinitamente nas direções positivas e negativas de .

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