Seja pi o plano que passa pelo ponto (1,1,1) e é perpendicular a reta que passa pelos pontos (-2,-1,1) e (3,1,2). Determine a distância do ponto P=(-3,-1,2) ao plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a distância do ponto P=(-3,-1,2) a um plano pi. Esse plano passa pelo ponto (1,1,1) e é perpendicular a uma reta que vai de (-2,-1,1) até (3,1,2). Vamos usar conceitos de geometria analítica, como equação de plano e distância ponto-plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a direção da reta que é perpendicular ao plano pi. Para isso, vamos calcular o vetor diretor dessa reta. O vetor diretor v pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos dois pontos dados na reta:
v = (3 - (-2), 1 - (-1), 2 - 1) = (5, 2, 1)

Passo 3

Como o plano pi é perpendicular a essa reta, o vetor diretor v = (5, 2, 1) é também o vetor normal n do plano pi. O vetor normal é crucial para definir a equação do plano.

Passo 4

Agora, com o vetor normal n = (5, 2, 1) e um ponto que está no plano, (1,1,1), podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
5(x - 1) + 2(y - 1) + 1(z - 1) = 0
Simplificando isso, temos:
5x + 2y + z - 5 - 2 -1 = 0 5x + 2y + z - 8 = 0
Então, a equação do plano pi é:
5x + 2y + z = 8

Passo 5

Para encontrar a distância do ponto P=(-3,-1,2) ao plano pi: 5x + 2y + z = 8, usamos a fórmula da distância ponto-plano:
D = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Onde (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto P, e A, B, C, D são os coeficientes da equação do plano.

Passo 6

Identificando os valores na nossa equação do plano:
A = 5, B = 2, C = 1, D = -8
E as coordenadas do ponto P são:
x0 = -3, y0 = -1, z0 = 2

Passo 7

Substituindo na fórmula da distância:
D = |5(-3) + 2(-1) + 1(2) - 8|raiz5^2 + 2^2 + 1^2 D = |-15 -2 +2 -8|raiz25 + 4 +1 D = |-23|raiz30 D = 23raiz30 D = 23raiz3030

Resposta

A distância do ponto P=(-3,-1,2) ao plano pi é 23raiz3030 unidades.

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