Seja
o plano que passa pelo ponto
e é perpendicular a reta que passa pelos pontos
e
. Determine a distância do ponto
ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a distância do ponto
a um plano
. Esse plano passa pelo ponto
e é perpendicular a uma reta que vai de
até
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como equação de plano e distância ponto-plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a direção da reta que é perpendicular ao plano
. Para isso, vamos calcular o vetor diretor dessa reta. O vetor diretor
pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos dois pontos dados na reta:
Passo 3
Como o plano
é perpendicular a essa reta, o vetor diretor
é também o vetor normal
do plano
. O vetor normal é crucial para definir a equação do plano.
Passo 4
Agora, com o vetor normal
e um ponto que está no plano,
, podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Simplificando isso, temos:
Então, a equação do plano
é:
Passo 5
Para encontrar a distância do ponto
ao plano
, usamos a fórmula da distância ponto-plano:
Onde
são as coordenadas do ponto
, e
,
,
,
são os coeficientes da equação do plano.
Passo 6
Identificando os valores na nossa equação do plano:
E as coordenadas do ponto
são:
Passo 7
Substituindo na fórmula da distância:
Resposta
A distância do ponto
ao plano
é
unidades.